设 $m$，$n$ 是平面 $\alpha$ 内的两条不同直线，$l_{1}$，$l_{2}$ 是平面 $\beta$ 内的两条相交直线，则 $\alpha\parallel\beta$ 的一个充分而不必要条件是（ ）

\begin{solution} 若$m\parallel l_1$且$n\parallel l_2$，则$m$与$n$的方向分别平行于平面$\beta$内相交直线$l_1$与$l_2$的方向.由于$m$，$n$在平面$\alpha$内且方向不同，平面$\alpha$的两个方向均与平面$\beta$的两个方向平行，从而$\alpha$与$\beta$平行.因此 B 是充分条件.

它不是必要条件.例如两平面平行时，可以在$\alpha$内任取两条不同直线$m$，$n$，它们未必分别平行于指定的$l_1$，$l_2$.所以该条件充分而不必要，选 B. \end{solution}

如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形，$MD \perp$ 平面 $ABCD$，$NB \perp$ 平面 $ABCD$，且 $MD = NB = 1$，$E$ 为 $BC$ 的中点.

(1) 求异面直线 $NE$ 与 $AM$ 所成角的余弦值； (2) 在线段 $AN$ 上是否存在点 $S$，使得 $ES \perp$ 平面 $AMN$？若存在，求线段 $AS$ 的长；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，使$D$为原点，$DC$、$DA$、$DM$分别为三个坐标轴正方向.则$A(0,1,0)$、$B(1,1,0)$、$C(1,0,0)$、$M(0,0,1)$、$N(1,1,1)$、$E\left(1,\frac{1}{2},0\right)$. 于是$\overrightarrow{NE}=\left(0,-\frac{1}{2},-1\right)$，$\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)$，且 $\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}$、$|\overrightarrow{NE}|=\frac{\sqrt{5}}{2}$、$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}$. 异面直线所成角取锐角，故其余弦值为

\item 设$S$在线段$AN$上，令$S=A+t(N-A)=(t,1,t)$，其中$0\leqslant t\leqslant1$.平面$AMN$内有 $\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)$，$\overrightarrow{AN}=(1,0,1)$，其法向量可取 又$\overrightarrow{ES}=\left(t-1,\frac{1}{2},t\right)$.要使$ES\perp$平面$AMN$，必须有$\overrightarrow{ES}$平行于$(-1,1,1)$.比较第二坐标得比例因子为$\frac{1}{2}$，于是第一、第三坐标分别给出$t-1=-\frac{1}{2}$和$t=\frac{1}{2}$，两者一致.因此存在这样的点$S$，且 \end{enumerate} \end{solution}