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01复数★★☆☆☆
将多项式 x5y−9xy5x^{5}y - 9xy^{5} 分别在下列范围内分解因式：
(1) 有理数范围； (2) 实数范围； (3) 复数范围.

1980 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 解答题

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02解析几何★★☆☆☆
半径为 11，22，33 的三个圆两两外切. 证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

1980 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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03解析几何★★★☆☆
用解析几何方法证明：三角形的三条高线交于一点.

1980 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
证明对数换底公式：log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b}（aa，bb，NN 都是正数，a≠1a \neq 1，b≠1b \neq 1）.

1980 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
直升飞机上一点 PP 在地面 MM 上的正射影是 AA，从 PP 看地面上一物体 BB（不同于 AA）. 直线 PBPB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 NN（如图）.
证明：平面 NN 必与平面 MM 相交，且交线 ll 垂直于 ABAB.

1980 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 解答题

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06三角函数★★★★☆
设三角函数 f(x)=sin⁡(kx5+π3)f(x)=\sin\left(\frac{kx}{5}+\frac{\pi}{3}\right)，其中 k≠0k\neq0.
(1) 写出 f(x)f(x) 极大值 MM，极小值 mm 与最小正周期 TT； (2) 试求最小的正整数 kk，使得当自变量 xx 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x)f(x) 至少有一个值是 MM 与一个值是 mm.

1980 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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07三角函数★★★☆☆
CDCD 为直角 △ABC\triangle ABC 中斜边 ABAB 上的高，已知 △ACD\triangle ACD，△CBD\triangle CBD，△ABC\triangle ABC 的面积成等比数列，求 ∠B\angle B（用反三角函数表示）.

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08三角函数★★★★☆
已知 0<α<π0 < \alpha < \pi，证明：2sin⁡2α⩽cot⁡α22\sin 2\alpha\leqslant\cot\frac{\alpha}{2}；并讨论 α\alpha 为何值时等号成立.

1980 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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09解析几何★★★★☆
抛物线的方程是 y2=2xy^{2}=2x，有一个半径为 11 的圆，圆心在 xx 轴上运动. 问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直. 注：设 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 是抛物线 y2=2pxy^{2}=2px 上一点，则抛物线在 PP 点处的切线斜率是 py0\frac{p}{y_0}.

1980 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
设直线 ll 的参数方程是
{x=t,y=b+mt\begin{cases} x=t,\\ y=b+mt \end{cases}
（tt 是参数），椭圆 EE 的参数方程是
{x=1+acos⁡θ,y=sin⁡θ\begin{cases} x=1+a\cos\theta,\\ y=\sin\theta \end{cases}
（a≠0a\neq0，θ\theta 是参数），问 aa，bb 应满足什么条件，使得对于任意 mm 值来说，直线 ll 与椭圆 EE 总有公共点.

1980 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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