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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣3x+2>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid 3x + 2 > 0\}，B={x∈R∣(x+1)(x−3)>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid (x + 1)(x - 3) > 0\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(−∞,−1)(-\infty, -1)
B.
(−1,−23)\left(-1, -\frac{2}{3}\right)
C.
(−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2012 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★★☆☆☆
设不等式组
{0⩽x⩽2,0⩽y⩽2\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 2,\\ 0 \leqslant y \leqslant 2 \end{cases}
表示的平面区域为 DD. 在区域 DD 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π−22\frac{\pi - 2}{2}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
4−π4\frac{4 - \pi}{4}

2012 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}. “a=0a=0”是“复数 a+bia+b\mathrm{i} 是纯虚数”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 SS 值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
88
D.
1616

2012 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
如图，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，CD⊥ABCD \perp AB 于点 DD，以 BDBD 为直径的圆与 BCBC 交于点 EE，则（ ）
A.
CE⋅CB=AD⋅DBCE \cdot CB = AD \cdot DB
B.
CE⋅CB=AD⋅ABCE\cdot CB = AD\cdot AB
C.
AD⋅AB=CD2AD\cdot AB = CD^{2}
D.
CE⋅EB=CD2CE\cdot EB = CD^{2}

2012 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
从 00，22 中选一个数字，从 11，33，55 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A.
2424
B.
1818
C.
1212
D.
66

2012 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
某棵果树前 nn 年的总产量 SnS_n 与 nn 之间的关系如图所示. 从目前记录的结果看，前 mm 年的年平均产量最高，mm 的值为（ ）
A.
55
B.
77
C.
99
D.
1111

2012 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
直线
{x=2+t,y=−1−t,\begin{cases} x=2+t,\\ y=-1-t, \end{cases}
（tt 为参数）与曲线
{x=3cos⁡α,y=3sin⁡α,\begin{cases} x=3\cos\alpha,\\ y=3\sin\alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数）的交点个数为______.

2012 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和，若 a1=12a_1=\frac{1}{2}，S2=a3S_2=a_3，则 a2=a_2=______；Sn=S_n=______.

2012 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 a=2a=2，b+c=7b+c=7，cos⁡B=−14\cos B=-\frac{1}{4}，则 b=b=______.

2012 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 过抛物线 y2=4xy^2 = 4x 的焦点 FF，且与该抛物线相交于 AA，BB 两点，其中点 AA 在 xx 轴上方. 若直线 ll 的倾斜角为 60∘60^\circ，则 △OAF\triangle OAF 的面积为______.

2012 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 1，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2g(x)=2^x-2. 若同时满足条件：
① ∀x∈R\forall x\in\mathbf{R}，f(x)<0f(x)<0 或 g(x)<0g(x)<0； ② ∃x∈(−∞,−4)\exists x\in(-\infty,-4)，f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0，
则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsin⁡xf(x)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间.

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16立体几何初步★★★★☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C=90^\circ，BC=3BC=3，AC=6AC=6. DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 上的点，且 DE∥BCDE\parallel BC，DE=2DE=2，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1C⊥CDA_1C \perp CD，如图 2.
(1) 求证：A1C⊥A_1C \perp 平面 BCDEBCDE； (2) 若 MM 是 A1DA_1D 的中点，求 CMCM 与平面 A1BEA_1BE 所成角的大小； (3) 线段 BCBC 上是否存在点 PP，使平面 A1DPA_1DP 与平面 A1BEA_1BE 垂直？说明理由.

2012 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨\text{吨}）：
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a>0，a+b+c=600a+b+c=600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为数据 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）

2012 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x)=ax^2+1（a>0a>0），g(x)=x3+bxg(x)=x^3+bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=g(x)y=g(x) 在它们的交点 (1,c)(1,c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a2=4ba^2=4b 时，求函数 f(x)+g(x)f(x)+g(x) 的单调区间，并求其在区间 (−∞,−1](-\infty,-1] 上的最大值.

2012 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知曲线 C:(5−m)x2+(m−2)y2=8C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8（m∈Rm\in\mathbf{R}）.
(1) 若曲线 CC 是焦点在 xx 轴上的椭圆，求 mm 的取值范围； (2) 设 m=4m=4，曲线 CC 与 yy 轴的交点为 AA，BB（点 AA 位于点 BB 的上方），直线 y=kx+4y=kx+4 与曲线 CC 交于不同的两点 MM，NN，直线 y=1y=1 与直线 BMBM 交于点 GG. 求证：AA，GG，NN 三点共线.

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20不等式★★★★★
设 AA 是由 m×nm\times n 个实数组成的 mm 行 nn 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零. 记 S(m,n)S(m,n) 为所有这样的数表构成的集合. 对于 A∈S(m,n)A\in S(m,n)，记 ri(A)r_i(A) 为 AA 的第 ii 行各数之和（1≤i≤m1\le i\le m），cj(A)c_j(A) 为 AA 的第 jj 列各数之和（1≤j≤n1\le j\le n）；记 k(A)k(A) 为 ∣r1(A)∣|r_1(A)|，∣r2(A)∣|r_2(A)|，⋯\cdots，∣rm(A)∣|r_m(A)|，∣c1(A)∣|c_1(A)|，∣c2(A)∣|c_2(A)|，⋯\cdots，∣cn(A)∣|c_n(A)| 中的最小值.
(1) 对如下数表 AA，求 k(A)k(A) 的值： (2) 设数表 A∈S(2,3)A\in S(2,3) 形如
求 k(A)k(A) 的最大值； (3) 给定正整数 tt，对于所有的 A∈S(2,2t+1)A\in S(2,2t+1)，求 k(A)k(A) 的最大值.

2012 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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