已知函数 $f(x)=ax^2+1$（$a>0$），$g(x)=x^3+bx$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点 $(1,c)$ 处具有公共切线，求 $a$，$b$ 的值； (2) 当 $a^2=4b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty,-1]$ 上的最大值.