数迹
题目列表试卷列表
共找到 22 题
排序：
组题
本页 22 题去组卷
01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 S={x∣∣x∣<5}S = \{x \mid |x| < 5\}，T={x∣(x+7)(x−3)<0}T = \{x \mid (x + 7)(x - 3) < 0\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
{x∣−7<x<−5}\{x\mid -7 < x < -5\}
B.
{x∣3<x<5}\{x\mid 3 < x < 5\}
C.
{x∣−5<x<3}\{x\mid -5 < x < 3\}
D.
{x∣−7<x<5}\{x\mid -7 < x < 5\}

2009 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

查看答案和解析
02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=2x+1y = 2^{x + 1}（x∈Rx \in \mathbf{R}）的反函数是（ ）
A.
y=1+log⁡2xy = 1 + \log_2 x（x>0x > 0）
B.
y=log⁡2(x−1)y = \log_2(x - 1)（x>1x > 1）
C.
y=−1+log⁡2xy = -1 + \log_2 x（x>0x > 0）
D.
y=log⁡2(x+1)y = \log_2(x + 1)（x>−1x > -1）

2009 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

查看答案和解析
03数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的公差不为零，首项 a1=1a_1 = 1，a2a_2 是 a1a_1 和 a5a_5 的等比中项，则数列 {an}\{a_n\} 的前 10 项之和是（ ）
A.
9090
B.
100100
C.
145145
D.
190190

2009 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

查看答案和解析
04三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π2)f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}），下面结论错误的是（ ）
A.
函数 f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi
B.
函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是增函数
C.
函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=0x = 0 对称
D.
函数 f(x)f(x) 是奇函数

2009 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
05概率与统计★☆☆☆☆
设矩形的长为 aa，宽为 bb，其比满足 b:a=5−12≈0.618b : a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形. 黄金矩形常应用于工艺品设计中. 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.5980.5980.6250.6250.6280.6280.5950.5950.6390.639
乙批次：0.6180.6180.6130.6130.5920.5920.6220.6220.6200.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.6180.618 比较，正确结论是（ ）
A.
甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.
乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.
两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.
两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

2009 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
06立体几何初步★★☆☆☆
如图，已知六棱锥 P−ABCDEFP - ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，PA=2ABPA = 2AB，则下列结论正确的是（ ）
A.
PB⊥ADPB \perp AD
B.
平面 PAB⊥PAB \perp 平面 PBCPBC
C.
直线 BC∥BC \parallel 平面 PAEPAE
D.
直线 PDPD 与平面 ABCABC 所成的角为 45∘45^{\circ}

2009 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
07集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 c>dc > d. 则“a>ba > b”是“a−c>b−da - c > b - d”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
08解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x22−y2b2=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（b>0b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，其一条渐近线方程为 y=xy = x，点 P(3,y0)P(\sqrt{3}, y_0) 在该双曲线上，则 PF1→⋅PF2→=\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} =（ ）
A.
−12-12
B.
−2-2
C.
0
D.
4

2009 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
09立体几何初步★★★☆☆
如图，在半径为 3 的球面上有 AA，BB，CC 三点，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，BA=BCBA = BC，球心 OO 到平面 ABCABC 的距离是 322\frac{3\sqrt{2}}{2}，则 BB，CC 两点的球面距离是（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π\pi
C.
4π3\frac{4\pi}{3}
D.
2π2\pi

2009 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
10不等式★★★☆☆
某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 AA 原料 3 吨3\text{ 吨}，BB 原料 2 吨2\text{ 吨}；生产每吨乙产品要用 AA 原料 1 吨1\text{ 吨}，BB 原料 3 吨3\text{ 吨}. 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元5\text{ 万元}，每吨乙产品可获得利润 3 万元3\text{ 万元}. 该企业在一个生产周期内消耗 AA 原料不超过 13 吨13\text{ 吨}，BB 原料不超过 18 吨18\text{ 吨}，那么该企业可获得最大利润是（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
20 万元20\text{ 万元}
C.
25 万元25\text{ 万元}
D.
27 万元27\text{ 万元}

2009 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
11计数原理与组合数学★★★★☆
22 位男生和 33 位女生共 55 位同学站成一排，若男生甲不站两端，33 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.
6060
B.
4848
C.
4242
D.
3636

2009 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

查看答案和解析
12函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在实数集 R\mathbf{R} 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 xx 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x)x f(x + 1) = (1 + x)f(x)，则 f(f(52))f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right) 的值是（ ）
A.
0
B.
12\frac{1}{2}
C.
1
D.
52\frac{5}{2}

2009 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
13解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点到准线的距离是______.

2009 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−12x)6\left(2x - \frac{1}{2x}\right)^6 的展开式的常数项是______.（用数字作答）

2009 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
15立体几何初步★★☆☆☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的各条棱长都相等，MM 是侧棱 CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 AB1AB_{1} 和 BMBM 所成的角的大小是______.

2009 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
16平面向量★★★★☆
设 VV 是已知平面 MM 上所有向量的集合. 对于映射 f:V→Vf: V \to V，a∈V\boldsymbol{a} \in V，记 a\boldsymbol{a} 的象为 f(a)f(\boldsymbol{a}). 若映射 f:V→Vf: V \to V 满足：对所有 a\boldsymbol{a}，b∈V\boldsymbol{b} \in V 及任意实数 λ\lambda，μ\mu 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)f(\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = \lambda f(\boldsymbol{a}) + \mu f(\boldsymbol{b})，则 ff 称为平面 MM 上的线性变换. 现有下列命题：
① 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，则 f(a+b)=f(a)+f(b)f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = f(\boldsymbol{a}) + f(\boldsymbol{b})； ② 若 e\boldsymbol{e} 是平面 MM 上的单位向量，对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=a+ef(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ③ 对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=−af(\boldsymbol{a}) = -\boldsymbol{a}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ④ 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，a∈V\boldsymbol{a} \in V，则对任意实数 kk 均有 f(ka)=kf(a)f(k\boldsymbol{a}) = kf(\boldsymbol{a}).
其中真命题是______.（写出所有真命题的序号）

2009 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB 为锐角，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=55\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}，sin⁡B=1010\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}.
(1) 求 A+BA + B 的值； (2) 若 a−b=2−1a - b = \sqrt{2} - 1，求 aa，bb，cc 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因 AA、BB 为锐角，得 cos⁡A=1−sin⁡2A=255\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{2\sqrt5}{5}，cos⁡B=1−sin⁡2B=31010\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}. 于是
cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=255⋅31010−55⋅1010=22\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B =\frac{2\sqrt5}{5}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10} -\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{10} =\frac{\sqrt2}{2}
又 0<A+B<π0<A+B<\pi，所以 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}.
\item 由正弦定理，a:b=sin⁡A:sin⁡B=2:1a:b=\sin A:\sin B=\sqrt2:1，故可设 a=2ba=\sqrt2 b. 由 a−b=2−1a-b=\sqrt2-1，得
(2−1)b=2−1(\sqrt2-1)b=\sqrt2-1
所以 b=1b=1，a=2a=\sqrt2. 由第（1）问， C=π−(A+B)=3π4C=\pi-(A+B)=\frac{3\pi}{4}. 再次由正弦定理，
cb=sin⁡Csin⁡B=221010=5\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\sqrt5
故 c=5c=\sqrt5. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）. 某旅游公司组织了一个有 3636 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 34\frac{3}{4} 是省外游客，其余是省内游客. 在省外游客中有 13\frac{1}{3} 持金卡，在省内游客中有 23\frac{2}{3} 持银卡.
(1) 在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； (2) 在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 省外游客有 36×34=2736\times\frac34=27 人，其中持金卡的有 27×13=927\times\frac13=9 人. 省内游客有 99 人，其中持银卡的有 9×23=69\times\frac23=6 人. 因此全团持银卡的有 66 人，不持银卡的有 3030 人. 随机采访两人时，恰有一人持银卡的概率为
C61C301C362=180630=27\frac{\mathrm C_6^1\mathrm C_{30}^1}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{180}{630}=\frac27
\item 全团持金卡 99 人，持银卡 66 人，既不持金卡也不持银卡的有 36−9−6=2136-9-6=21 人. 两人中金卡、银卡人数相等时，只有“一人持金卡且一人持银卡”或“两人均不持这两种卡”两种情形，故所求概率为
9×6+C212C362=54+210630=44105\frac{9\times6+\mathrm C_{21}^2}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{54+210}{630}=\frac{44}{105}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 所在平面与平面四边形 ABEFABEF 所在平面互相垂直，△ABE\triangle ABE 是等腰直角三角形，AB=AEAB = AE，FA=FEFA = FE，∠AEF=45∘\angle AEF = 45^{\circ}.
(1) 求证： EF⊥EF \perp 平面 BCEBCE； (2) 设线段 CDCD，AEAE 的中点分别为 PP，MM，求证： PM∥PM \parallel 平面 BCEBCE； (3) 求二面角 F−BD−AF - BD - A 的大小.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在正方形所在平面内，BC⊥ABBC\perp AB. 又两平面的交线为 ABAB，且两平面互相垂直，所以 BC⊥BC\perp 平面 ABEFABEF，从而 BC⊥EFBC\perp EF.
因 △ABE\triangle ABE 是等腰直角三角形且 AB=AEAB=AE，其直角在 AA，故 ∠AEB=45∘\angle AEB=45^{\circ}. 在平面 ABEFABEF 内，题设又给出 ∠AEF=45∘\angle AEF=45^{\circ}. 由于 ABEFABEF 是非退化四边形，EFEF 不与 EBEB 重合，因此 EFEF 取的是 EAEA 的另一侧射线，从而 ∠BEF=90∘\angle BEF=90^{\circ}，即 BE⊥EFBE\perp EF. 直线 BCBC、BEBE 相交且都在平面 BCEBCE 内，EFEF 同时垂直于它们，所以 EF⊥EF\perp 平面 BCEBCE.
\item 取 AB=1AB=1，建立空间直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(1,0,0)B=(1,0,0)，C=(1,1,0)C=(1,1,0)，D=(0,1,0)D=(0,1,0) E=(0,0,1)E=(0,0,1)，F=(−12,0,12)F=\left(-\frac12,0,\frac12\right). 这些坐标满足题设的垂直、等腰直角及等腰条件. 设 NN 为 BEBE 的中点，则 P=(12,1,0)P=\left(\frac12,1,0\right)，M=(0,0,12)M=\left(0,0,\frac12\right)，N=(12,0,12)N=\left(\frac12,0,\frac12\right). 于是
PM→=(−12,−1,12)=CN→\overrightarrow{PM}=\left(-\frac12,-1,\frac12\right) =\overrightarrow{CN}
所以 PM∥CNPM\parallel CN. 又平面 BCEBCE 的方程为 x+z=1x+z=1，而 PP 的坐标满足 x+z=12x+z=\frac12，故 P∉P\notin 平面 BCEBCE. 因此 PM∥PM\parallel 平面 BCEBCE.
\item 在上述坐标系中，平面 ABDABD 的方程为 z=0z=0. 平面 FBDFBD 内两条相交向量可取 BD→=(−1,1,0)\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)，BF→=(−32,0,12)\overrightarrow{BF}=\left(-\frac32,0,\frac12\right). 故其法向量可取
BD→×BF→=(12,12,32)\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BF}=\left(\frac12,\frac12,\frac32\right)
而平面 ABDABD 的法向量为 (0,0,1)(0,0,1). 设二面角 F−BD−AF-BD-A 的大小为 θ\theta，取其锐角，则
tan⁡θ=12+123=23\tan\theta=\frac{\sqrt{1^2+1^2}}{3}=\frac{\sqrt2}{3}
所以 θ=arctan⁡23\theta=\arctan\frac{\sqrt2}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx−2f(x) = x^3 + 2bx^2 + cx - 2 的图象在与 xx 轴交点处的切线方程是 y=5x−10y = 5x - 10.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设函数 g(x)=f(x)+13mxg(x) = f(x) + \frac{1}{3}mx，若 g(x)g(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 g(x)g(x) 取得极值时对应的自变量 xx 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线 y=5x−10y=5x-10 与 xx 轴交于 (2,0)(2,0)，所以函数图象与 xx 轴的交点为 (2,0)(2,0)，即 f(2)=0f(2)=0. 切线斜率为 55，故 f′(2)=5f'(2)=5. 由 f(2)=8+8b+2c−2=0f(2)=8+8b+2c-2=0，f′(2)=12+8b+c=5f'(2)=12+8b+c=5 得到 4b+c=−34b+c=-3，8b+c=−78b+c=-7. 解得 b=−1b=-1，c=1c=1，所以
f(x)=x3−2x2+x−2f(x)=x^3-2x^2+x-2
\item
g′(x)=3x2−4x+1+m3g'(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}
要使三次函数 gg 有极大值和极小值，导函数必须有两个不相等的实根，即
Δ=(−4)2−4⋅3(1+m3)=4(1−m)>0\Delta=(-4)^2-4\cdot3\left(1+\frac{m}{3}\right)=4(1-m)>0
故 m<1m<1. 此时导函数的两个零点为 x=2−1−m3x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}，x=2+1−m3x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}. 因二次导函数首项系数为正，较小的根处导函数由正变负，取得极大值；较大的根处导函数由负变正，取得极小值. 因此前者对应极大值，后者对应极小值. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率 e=22e = \frac{\sqrt{2}}{2}，右准线方程为 x=2x = 2.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过点 F1F_{1} 的直线 ll 与该椭圆交于 MM，NN 两点，且 ∣F2M→+F2N→∣=2263\left|\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}\right| = \frac{2\sqrt{26}}{3}，求直线 ll 的方程.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率 e=ca=22e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}，右准线为 x=ae=2x=\frac ae=2，得 a=2a=\sqrt2，c=ae=1c=ae=1. 于是 b2=a2−c2=1b^2=a^2-c^2=1，椭圆的标准方程为
x22+y2=1\frac{x^2}{2}+y^2=1
\item 已知 F1=(−1,0)F_1=(-1,0). 若直线 ll 不是竖直线，设其方程为 y=k(x+1)y=k(x+1). 令交点 MM，NN 的横坐标分别为 x1x_1，x2x_2，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0(1+2k^2)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
由韦达定理， x1+x2=−4k21+2k2x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2}，y1+y2=k(x1+x2+2)=2k1+2k2y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)=\frac{2k}{1+2k^2}. 因 F2=(1,0)F_2=(1,0)，所以
F2M→+F2N→=(x1+x2−2,y1+y2)\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N} =\left(x_1+x_2-2,y_1+y_2\right)
从而
∣F2M→+F2N→∣2=4(4k2+1)2+4k2(1+2k2)2\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|^2 =\frac{4(4k^2+1)^2+4k^2}{(1+2k^2)^2}
根据题设，该式等于 (2263)2=1049\left(\frac{2\sqrt{26}}{3}\right)^2=\frac{104}{9}，整理得 40k4−23k2−17=040k^4-23k^2-17=0，(k2−1)(40k2+17)=0(k^2-1)(40k^2+17)=0. 所以 k2=1k^2=1，即 k=1k=1 或 k=−1k=-1. 还需讨论过 F1F_1 的竖直线 x=−1x=-1. 此时交点为 M=(−1,22)M=(-1,\frac{\sqrt2}{2})、N=(−1,−22)N=(-1,-\frac{\sqrt2}{2})，从而 ∣F2M→+F2N→∣=4≠2263\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|=4\ne\frac{2\sqrt{26}}{3}，不符合题设. 因此
l:y=x+1或l:y=−x−1l:y=x+1\quad\text{或}\quad l:y=-x-1
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22数列★★★★★
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，对任意的正整数 nn，都有 an=5Sn+1a_n = 5S_n + 1 成立，记 bn=4+an1−anb_n = \frac{4 + a_n}{1 - a_n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 与数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和为 RnR_n，是否存在正整数 kk，使得 Rn⩾4kR_n \geqslant 4k 成立？若存在，找出一个正整数 kk；若不存在，请说明理由； (3) 记 cn=b2n−b2n−1c_n = b_{2n} - b_{2n-1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），设数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求证：对任意正整数 nn 都有 Tn<32T_n < \frac{3}{2}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 n=1n=1 时，S1=a1S_1=a_1，所以 a1=5a1+1a_1=5a_1+1，a1=−14a_1=-\frac14. 又由 Sn+1=Sn+an+1S_{n+1}=S_n+a_{n+1} 及题设，得
an+1=5Sn+1+1=5Sn+5an+1+1a_{n+1}=5S_{n+1}+1=5S_n+5a_{n+1}+1
即 −4an+1=5Sn+1=an-4a_{n+1}=5S_n+1=a_n. 因此 an+1=−14ana_{n+1}=-\frac14a_n，an=(−14)na_n=\left(-\frac14\right)^n. 代入 bn=4+an1−anb_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}，得
bn=4+(−14)n1−(−14)nb_n=\frac{4+\left(-\frac14\right)^n}{1-\left(-\frac14\right)^n}
\item 由 a1=−14a_1=-\frac14，得
b1=4−141+14=3b_1=\frac{4-\frac14}{1+\frac14}=3
若存在正整数 kk 使任意正整数 nn 都有 Rn≥4kR_n\ge4k，取 n=1n=1 将得到 3=R1≥4k≥43=R_1\ge4k\ge4，矛盾. 因此不存在这样的正整数 kk.
\item 令 un=(14)2nu_n=\left(\frac14\right)^{2n}，则 a2n=una_{2n}=u_n，a2n−1=−4una_{2n-1}=-4u_n，从而 b2n=4+un1−unb_{2n}=\frac{4+u_n}{1-u_n}，b2n−1=4−4un1+4unb_{2n-1}=\frac{4-4u_n}{1+4u_n}. 所以
cn=b2n−b2n−1=25un(1−un)(1+4un)c_n=b_{2n}-b_{2n-1} =\frac{25u_n}{(1-u_n)(1+4u_n)}
因 0<un≤1160<u_n\le\frac1{16}，有 (1−un)(1+4un)=1+un(3−4un)>1(1-u_n)(1+4u_n)=1+u_n(3-4u_n)>1，故 0<cn<25un0<c_n<25u_n. 当 n=1n=1 时，直接计算得 c1=43<32c_1=\frac43<\frac32. 当 n≥2n\ge2 时，
Tn=c1+∑j=2ncj<43+25∑j=2∞(116)j=43+548=2316<32T_n=c_1+\sum_{j=2}^{n}c_j <\frac43+25\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac1{16}\right)^j =\frac43+\frac5{48}=\frac{23}{16}<\frac32
因此对任意正整数 nn，都有 Tn<32T_n<\frac32. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析