已知函数 $f(x) = x^3 + 2bx^2 + cx - 2$ 的图象在与 $x$ 轴交点处的切线方程是 $y = 5x - 10$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 设函数 $g(x) = f(x) + \frac{1}{3}mx$，若 $g(x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $g(x)$ 取得极值时对应的自变量 $x$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线 $y=5x-10$ 与 $x$ 轴交于 $(2,0)$，所以函数图象与 $x$ 轴的交点为 $(2,0)$，即 $f(2)=0$. 切线斜率为 $5$，故 $f'(2)=5$. 由 $f(2)=8+8b+2c-2=0$，$f'(2)=12+8b+c=5$ 得到 $4b+c=-3$，$8b+c=-7$. 解得 $b=-1$，$c=1$，所以

\item 要使三次函数 $g$ 有极大值和极小值，导函数必须有两个不相等的实根，即 故 $m<1$. 此时导函数的两个零点为 $x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}$，$x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}$. 因二次导函数首项系数为正，较小的根处导函数由正变负，取得极大值；较大的根处导函数由负变正，取得极小值. 因此前者对应极大值，后者对应极小值. \end{enumerate} \end{solution}