某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 $A$ 原料 $3\text{ 吨}$，$B$ 原料 $2\text{ 吨}$；生产每吨乙产品要用 $A$ 原料 $1\text{ 吨}$，$B$ 原料 $3\text{ 吨}$. 销售每吨甲产品可获得利润 $5\text{ 万元}$，每吨乙产品可获得利润 $3\text{ 万元}$. 该企业在一个生产周期内消耗 $A$ 原料不超过 $13\text{ 吨}$，$B$ 原料不超过 $18\text{ 吨}$，那么该企业可获得最大利润是（ ）

已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $x f(x + 1) = (1 + x)f(x)$，则 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)$ 的值是（ ）

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线方程为 $x = 2$.

(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $M$，$N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}\right| = \frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率 $e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}$，右准线为 $x=\frac ae=2$，得 $a=\sqrt2$，$c=ae=1$. 于是 $b^2=a^2-c^2=1$，椭圆的标准方程为

\item 已知 $F_1=(-1,0)$. 若直线 $l$ 不是竖直线，设其方程为 $y=k(x+1)$. 令交点 $M$，$N$ 的横坐标分别为 $x_1$，$x_2$，代入椭圆方程得 由韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2}$，$y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)=\frac{2k}{1+2k^2}$. 因 $F_2=(1,0)$，所以 从而 根据题设，该式等于 $\left(\frac{2\sqrt{26}}{3}\right)^2=\frac{104}{9}$，整理得 $40k^4-23k^2-17=0$，$(k^2-1)(40k^2+17)=0$. 所以 $k^2=1$，即 $k=1$ 或 $k=-1$. 还需讨论过 $F_1$ 的竖直线 $x=-1$. 此时交点为 $M=(-1,\frac{\sqrt2}{2})$、$N=(-1,-\frac{\sqrt2}{2})$，从而 $\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|=4\ne\frac{2\sqrt{26}}{3}$，不符合题设. 因此 \end{enumerate} \end{solution}