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03数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a5=3a_{5} = 3，a6=−2a_{6} = -2，则 a4+a5+⋯+a10=a_{4} + a_{5} + \cdots + a_{10} =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
若首项为 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1a_{1}，公比 qq 的一组取值可以是 (a1,q)=‾(a_{1}, q) =\underline{\hspace{2em}}.

2003 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,2n)A\left(0, \frac{2}{n}\right)，B(0,−2n)B\left(0, -\frac{2}{n}\right)，C(4+2n,0)C\left(4 + \frac{2}{n}, 0\right)，其中 nn 为正整数，设 SnS_{n} 表示 △ABC\triangle ABC 外接圆的面积，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n} =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} （nn 为正整数）是首项是 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列.
(1) 求和：a1C20−a2C21+a3C22a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}，a1C30−a2C31+a3C32−a4C33a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}； (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 nn 的一个结论，并加以证明； (3) 设 q≠1q \neq 1，SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 求：S1Cn0−S2Cn1+S3Cn2−S4Cn3+⋯+(−1)nSn+1CnnS_1\mathrm C_n^0 - S_2\mathrm C_n^1 + S_3\mathrm C_n^2 - S_4\mathrm C_n^3 + \cdots + (-1)^n S_{n+1}\mathrm C_n^n.

2003 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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