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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简：3−32(13)−33(3−1)2\frac{\sqrt[3]{3^{-\frac32}\left( \frac13 \right)^{-3}}}{\left( \sqrt3-1 \right)^2}.

1964 · 全国 · 第 1 题 · 解答题

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02三角函数★★★☆☆
甲乙二人在河的南岸 OO 处，隔河在正北方向有一建筑物 PP. 甲向正东，乙向正西沿河岸而行，甲每分钟比乙多走 a 米a\text{ 米}. 1010 分钟后，甲望建筑物 PP 在北 α∘\alpha^\circ 西（即北偏西 α∘\alpha^\circ），乙望建筑物 PP 在北 β∘\beta^\circ 东（即北偏东 β∘\beta^\circ），求 OO 与 PP 之间的距离.

1964 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03复数★★☆☆☆
解方程 x4+1=0x^4+1=0；并且证明：平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.

1964 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 AA，BB，CC 是三角形的三个内角，求证：cos⁡A=sin⁡2B+sin⁡2C−sin⁡2A2sin⁡Bsin⁡C\cos A=\frac{\sin^2B+\sin^2C-\sin^2A}{2\sin B\sin C}.

1964 · 全国 · 第 4 题 · 解答题

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05函数与初等函数★★★☆☆
已知方程 x3+mx2−3x+n=0x^3+mx^2-3x+n=0 的三个根的平方和为 66，且知这个方程有两相等的正根，求 mm，nn 的值.

1964 · 全国 · 第 5 题 · 解答题

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06立体几何初步★★★☆☆
圆台形铁桶的上口半径是 15 厘米15\text{ 厘米}，下底半径是 10 厘米10\text{ 厘米}，母线长是 30 厘米30\text{ 厘米}，将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平，得图中扇面形状的铁片 ABCDABCD. 求 AA，BB 两点间的距离.

1964 · 全国 · 第 6 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★★☆
AA，BB，CC，DD 四个点在平面 MM 和平面 NN 之外，AA，BB，CC，DD 在平面 MM 内的射影是 A1A_1，B1B_1，C1C_1，D1D_1，在平面 NN 内的射影是 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2. 已知 A1A_1，B1B_1，C1C_1，D1D_1 在一条直线上，A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 是一个平行四边形，求证 ABCDABCD 也是一个平行四边形.

1964 · 全国 · 第 7 题 · 解答题

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08不等式★★★★☆
下图中 ABCDABCD 是正方形，其每边长为 11；在正方形内，⊙O\odot O 与 ⊙O′\odot O' 互相外切，并且 ⊙O\odot O 与 ABAB，ADAD 两边相切，⊙O′\odot O' 与 CBCB，CDCD 两边相切.
(1) 求这两圆半径之和. (2) 当两圆半径各多么长时，两圆面积之和最小？当半径各多么长时，面积之和最大？证明你的结论.

1964 · 全国 · 第 8 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★★☆
(1) 如果把第 88 题中的正方形改成矩形，你能得什么结果？为什么？ (2) 如果把第 88 题中的正方形改成棱长为 11 的正方体，把圆改成球，你能得到什么结果？为什么？

1964 · 全国 · 第 9 题 · 解答题

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