已知 $m$，$n$ 是两条不重合的直线，$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

① 若 $m \perp \alpha$，$m \perp \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$； ② 若 $\alpha \perp \gamma$，$\beta \perp \alpha$，则 $\alpha \parallel \beta$； ③ 若 $m \subset \alpha$，$n \subset \beta$，$m \parallel n$，则 $\alpha \parallel \beta$； ④ 若 $m$，$n$ 是异面直线，$m \subset \alpha$，$m \parallel \beta$，$n \subset \beta$，$n \parallel \alpha$，则 $\alpha \parallel \beta$.

其中真命题是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 命题$\circled{1}$正确：同一直线垂直于两个平面时，这两个平面的法线方向均与该直线平行；又因两平面不重合，所以 $\alpha\parallel\beta$.

命题$\circled{2}$不正确. 例如取 $\alpha:z=0$、$\gamma:x=0$、$\beta:y=0$，则 $\alpha\perp\gamma$、$\beta\perp\alpha$，但 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交.

命题$\circled{3}$不正确. 例如在 $\alpha:z=0$ 内取 $m$ 为 $x$ 轴，在 $\beta:y=1$ 内取与 $m$ 平行的直线 $n$，则 $m\parallel n$，但 $\alpha$ 与 $\beta$ 不平行.

命题$\circled{4}$正确. 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，设交线为 $l$. 由 $m\subset\alpha$ 且 $m\parallel\beta$，得 $m\parallel l$；由 $n\subset\beta$ 且 $n\parallel\alpha$，得 $n\parallel l$. 于是 $m\parallel n$，这与 $m$，$n$ 为异面直线矛盾，所以 $\alpha\parallel\beta$. 因此真命题是$\circled{1}$和$\circled{4}$，选 D. \end{solution}

如图，正方体的棱长为 $1$，$C$，$D$ 分别是两条棱的中点，$A$，$B$，$M$ 是顶点，那么点 $M$ 到截面 $ABCD$ 的距离是______.

\begin{answer} $\frac{2}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 建立直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$，令 $AM$ 方向、底面内从后向前的方向和竖直向上方向分别为三个坐标轴方向，则 $M=(1,0,0)$，$B=(1,1,0)$，$D=\left(\frac12,0,1\right)$，$C=\left(1,\frac12,1\right)$. 平面 $ABCD$ 内有 $\overrightarrow{AB}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{AD}=\left(\frac12,0,1\right)$. 其法向量可取 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\left(1,-1,-\frac12\right)$， 所以平面 $ABCD$ 的方程为 $2x-2y-z=0$. 因而点 $M$ 到该平面的距离为 \end{solution}

已知三棱锥 $P-ABC$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$AB$ 的中点，$\triangle ABC$，$\triangle PEF$ 都是正三角形，$PF \perp AB$.

(1) 证明：$PC \perp$ 平面 $PAB$； (2) 求二面角 $P-AB-C$ 的平面角的余弦值； (3) 若点 $P$，$A$，$B$，$C$ 在一个表面积为 $12\pi$ 的球面上，求 $\triangle ABC$ 的边长.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正三角形 $ABC$ 的边长为 $a$. 由 $E$ 是 $AC$ 的中点，且 $\triangle PEF$ 与 $\triangle ABC$ 都是正三角形，有 $PE=EF=\frac a2$，$AE=CE=\frac a2$. 因此 $E$ 到 $A$，$C$，$P$ 三点的距离相等，$E$ 是 $\triangle APC$ 外接圆的圆心，而 $AC$ 是该圆的直径，从而 $\angle APC=90^\circ$，即 $AP\perp PC$.

又因为 $F$ 是正三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点，所以 $CF\perp AB$；题设给出 $PF\perp AB$. 直线 $PF$，$CF$ 在平面 $PFC$ 内相交，故 $AB\perp$ 平面 $PFC$，从而 $PC\perp AB$. 直线 $AP$，$AB$ 是平面 $PAB$ 内相交的两条直线，且 $PC$ 同时垂直于它们，所以 $PC\perp$ 平面 $PAB$.

\item 因为 $PF\perp AB$，$CF\perp AB$，所以 $\angle PFC$ 是二面角 $P-AB-C$ 的平面角. 又 $PF=AF=\frac a2$，$PF\perp AF$， 故在直角三角形 $PAF$ 中， $PA^2=PF^2+AF^2=\frac{a^2}{2}$. 由第（1）问，$\triangle APC$ 在 $P$ 处直角，所以 正三角形的中线给出 $CF=\frac{\sqrt3}{2}a$. 在 $\triangle PFC$ 中应用余弦定理，得

\item 由 $BF=AF=\frac a2$ 且 $PF\perp AB$，同理可得 $PB^2=PF^2+BF^2=\frac{a^2}{2}$. 于是 $PA=PB=PC=\frac{a}{\sqrt2}$. 又 $PA^2+PB^2=a^2=AB^2$， 所以 $PA\perp PB$；结合第（1）问的 $PC\perp$ 平面 $PAB$，从点 $P$ 出发的三条棱 $PA$，$PB$，$PC$ 两两垂直.

设球的半径为 $R$. 由球的表面积为 $12\pi$，得 $4\pi R^2=12\pi$，所以 $R=\sqrt3$. 对于三条两两垂直且长度均为 $s=\frac a{\sqrt2}$ 的棱，球心到点 $P$，$A$，$B$，$C$ 的距离相等，故球心在三条棱方向上的坐标均为 $\frac s2$，从而 $R^2=3\left(\frac s2\right)^2=\frac{3a^2}{8}$. 代入 $R^2=3$，得 $a^2=8$，所以 $\triangle ABC$ 的边长为 $2\sqrt2$. \end{enumerate} \end{solution}