若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 $m$，则 $m$ 的范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设三个内角依次为 $\frac\pi3-t$、$\frac\pi3$、$\frac\pi3+t$. 因三角形为钝角三角形，最大角满足 $\frac\pi3+t>\frac\pi2$，又必须小于 $\frac{2\pi}3$，故 $\frac\pi6<t<\frac\pi3$. 由正弦定理，最大边与最小边的比值为 $m=\dfrac{\sin(\frac\pi3+t)}{\sin(\frac\pi3-t)}$. 对 $m$ 求导得 $m'(t)=\dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin^2\left(\frac\pi3-t\right)}>0$. 当 $t\to\frac\pi6+$ 时，$m\to\frac1{\frac{1}{2}}=2$；当 $t\to\frac\pi3-$ 时，分母趋于 $0^+$，故 $m\to+\infty$. 因而 $m\in(2,+\infty)$，选 B. \end{solution}

$\omega$ 是正实数. 设 $S_{\omega} = \{\theta \mid f(x) = \cos[\omega(x + \theta)] \text{ 是奇函数}\}$，若对每个实数 $a$，$S_{\omega} \cap (a, a + 1)$ 的元素不超过 $2$ 个，且有 $a$ 使 $S_{\omega} \cap (a, a + 1)$ 含 $2$ 个元素，则 $\omega$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $\left(\pi, 2\pi\right]$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $f(x)=\cos[\omega(x+\theta)]$ 为奇函数，先令 $x=0$，得到 $\cos(\omega\theta)=0$. 反过来，若 $\cos(\omega\theta)=0$，则 $\cos[\omega(-x+\theta)]=-\cos[\omega(x+\theta)]$， 所以 相邻两个元素的距离为 $d=\frac{\pi}{\omega}$. 任意长度为 $1$ 的开区间中元素不超过两个，当且仅当 $2d\geqslant1$；存在某个这样的开区间含有两个元素，当且仅当 $d<1$. 因而 $\frac12\leqslant\frac{\pi}{\omega}<1$， 即 $\pi<\omega\leqslant2\pi$. \end{solution}

如图，在直径为 $1$ 的圆 $O$ 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 $y > x > 0$.

(1) 将十字形的面积表示为 $\theta$ 的函数； (2) $\theta$ 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设图中十字形的横、纵两个长方形的长边均为 $y$，短边均为 $x$. 两个长方形的公共部分是边长为 $x$ 的正方形，所以十字形面积为 $S=2xy-x^2$. 由图中半径方向形成的直角三角形及圆的直径为 $1$，有 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$. 条件 $y>x>0$ 给出 $\frac\pi4<\theta<\frac\pi2$，故 $S(\theta)=2\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$.

\item 对上式求导，得 $S'(\theta)=2\cos2\theta+\sin2\theta$. 在 $\frac\pi4<\theta<\frac\pi2$ 内，令 $S'(\theta)=0$，则 $2\cos2\theta+\sin2\theta=0$. 因为 $\frac\pi2<2\theta<\pi$，所以 $\sin2\theta=\frac2{\sqrt5}$，$\cos2\theta=-\frac1{\sqrt5}$. 因而 $\theta=\frac\pi4+\frac12\arccos\frac2{\sqrt5}$. 此时 区间端点不属于定义域；当 $\theta\to\frac\pi4+$ 和 $\theta\to\frac\pi2-$ 时，面积分别趋于 $\frac12$ 和 $0$，均小于上述驻点处的面积. 又上述驻点唯一且导数由正变负，所以该值为最大面积. \end{enumerate} \end{solution}