如图，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a$，$b > 0$）的两顶点为 $A_1$，$A_2$，虚轴两端点为 $B_1$，$B_2$，两焦点为 $F_1$，$F_2$. 若以 $A_1A_2$ 为直径的圆内切于菱形 $F_1B_1F_2B_2$，切点分别为 $A$，$B$，$C$，$D$. 则

(1) 双曲线的离心率 $e =\underline{\hspace{2em}}$； (2) 菱形 $F_{1}B_{1}F_{2}B_{2}$ 的面积 $S_{1}$ 与矩形 $ABCD$ 的面积 $S_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =\underline{\hspace{2em}}$.

如图，点 $D$ 在 $\odot O$ 的弦 $AB$ 上移动，$AB = 4$. 连接 $OD$，过点 $D$ 作 $OD$ 的垂线交 $\odot O$ 于点 $C$，则 $CD$ 的最大值为______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 与曲线 （$t$ 为参数） 相交于 $A$，$B$ 两点，则线段 $AB$ 的中点的直角坐标为______.

设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，$l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM| = m|DA|$ （$m > 0$ 且 $m \neq 1$）. 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$. 是否存在 $m$，使得对任意的 $k > 0$，都有 $PQ \perp PH$？ 若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.