已知二次函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，则它与 $x$ 轴所围成的图形的面积为（ ）

已知函数 $f(x) = rx - x^{r} + (1 - r)$ （$x > 0$），其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geqslant 0$，$a_{2} \geqslant 0$，$b_{1}$，$b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$，则 $a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 $\alpha$ 为正有理数时，有求导公式 $(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}$.

如图 1，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$BC = 3$，过动点 $A$ 作 $AD \perp BC$，垂足 $D$ 在线段 $BC$ 上且异于点 $B$，连接 $AB$. 沿 $AD$ 将 $\triangle ABD$ 折起，使 $\angle BDC = 90^{\circ}$（如图 2 所示）.

(1) 当 $BD$ 的长为多少时，三棱锥 $A - BCD$ 的体积最大； (2) 当三棱锥 $A - BCD$ 的体积最大时，设点 $E$，$M$ 分别为棱 $BC$，$AC$ 的中点，试在棱 $CD$ 上确定一点 $N$，使得 $EN \perp BM$，并求 $EN$ 与平面 $BMN$ 所成角的大小.