设 $a$，$b$，$c$，$x$，$y$，$z$ 是正数，且 $a^2 + b^2 + c^2 = 10$，$x^2 + y^2 + z^2 = 40$，$ax + by + cz = 20$，则 $\frac{a + b + c}{x + y + z} =$（ ）

已知函数 $f(x) = rx - x^{r} + (1 - r)$ （$x > 0$），其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geqslant 0$，$a_{2} \geqslant 0$，$b_{1}$，$b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$，则 $a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 $\alpha$ 为正有理数时，有求导公式 $(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}$.