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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣2<x<4}A = \{x \mid 2 < x < 4\}，B={x∣(x−1)(x−3)<0}B = \{x \mid (x - 1)(x - 3) < 0\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,4)(1, 4)
C.
(2,3)(2,3)
D.
(2,4)(2,4)

2015 · 山东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
若复数 zz 满足 z‾1−i=i\frac{\overline{z}}{1 - \mathrm{i}} = \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
1+i1 + \mathrm{i}
C.
−1−i-1 - \mathrm{i}
D.
−1+i-1 + \mathrm{i}

2015 · 山东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=0.60.6a = 0.6^{0.6}，b=0.61.5b = 0.6^{1.5}，c=1.50.6c = 1.5^{0.6}，则 aa，bb，cc 的大小关系是（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
a<c<ba < c < b
C.
b<a<cb < a < c
D.
b<c<ab < c < a

2015 · 山东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★☆☆☆☆
要得到函数 y=sin⁡(4x−π3)y = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需要将函数 y=sin⁡4xy = \sin 4x 的图象（ ）
A.
向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位
B.
向右平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位
C.
向左平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位
D.
向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位

2015 · 山东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若 m∈Rm \in \mathbf{R}，命题“若 m>0m > 0，则方程 x2+x−m=0x^{2} + x - m = 0 有实数根”的逆否命题是（ ）
A.
若方程 x2+x−m=0x^{2} + x - m = 0 有实根，则 m>0m > 0
B.
若方程 x2+x−m=0x^{2} + x - m = 0 有实根，则 m⩽0m \leqslant 0
C.
若方程 x2+x−m=0x^{2} + x - m = 0 没有实根，则 m>0m > 0
D.
若方程 x2+x−m=0x^{2} + x - m = 0 没有实根，则 m⩽0m \leqslant 0

2015 · 山东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：∘C^{\circ}C）制成如图所示的茎叶图.
\begin{array}{c} \multicolumn{3}{c|}{甲} & & \multicolumn{3}{c}{乙} \\ \hline $9$ & $8$ & $6$ & $2$ & $8$ & $9$ & \\ $1$ & $1$ & & $3$ & $0$ & $1$ & $2$ \end{array}
考虑以下结论：
① 甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ② 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③ 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④ 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2015 · 山东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
在区间 [0,2][0,2] 上随机地取一个数 xx，则事件“−1⩽log⁡12(x+12)⩽1-1 \leqslant \log_{\frac{1}{2}}\left(x + \frac{1}{2}\right) \leqslant 1”发生的概率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
14\frac{1}{4}

2015 · 山东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+12x−af(x) = \frac{2^x + 1}{2^x - a} 是奇函数，则使 f(x)>3f(x) > 3 成立的 xx 的取值范围为（ ）
A.
(−∞,−1)(- \infty, -1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,+∞)(1, + \infty)

2015 · 山东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.
223π\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi
B.
42π3\frac{4\sqrt{2}\pi}{3}
C.
22π2\sqrt{2}\pi
D.
42π4\sqrt{2}\pi

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10函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={3x−b,x<1,2x,x⩾1,f(x) = \begin{cases} 3x - b, & x < 1,\\ 2^x, & x \geqslant 1, \end{cases}
若 f(f(56))=4f\left(f\left(\frac{5}{6}\right)\right) = 4，则 b=b =（ ）
A.
1
B.
78\frac{7}{8}
C.
34\frac{3}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 山东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入的 xx 的值为 1，则输出的 yy 的值是______.

2015 · 山东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{y−x⩽1,x+y⩽3,y⩾1,\begin{cases} y - x \leqslant 1,\\ x + y \leqslant 3,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则 z=x+3yz = x + 3y 的最大值为______.

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13解析几何★★★☆☆
过点 P(1,3)P(1, \sqrt{3}) 作圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的两条切线，切点分别为 AA，BB，则 PA→⋅PB→=\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =______.

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14不等式★★☆☆☆
定义运算“⊗\otimes”： x⊗y=x2−y2xyx \otimes y = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy} （ xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，xy≠0xy \neq 0 ）. 当 x>0x > 0， y>0y > 0 时， x⊗y+(2y)⊗xx \otimes y + (2y) \otimes x 的最小值为______.

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15解析几何★★★☆☆
过双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 CC 于点 PP. 若点 PP 的横坐标为 2a2a，则 CC 的离心率为______.

2015 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
(1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，3 名女同学 B1B_{1}，B2B_{2}，B3B_{3}. 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1A_{1} 被选中且 B1B_{1} 未被选中的概率.

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡B=33\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}，sin⁡(A+B)=69\sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}，ac=23ac = 2\sqrt{3}，求 sin⁡A\sin A 和 cc 的值.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 DEF−ABCDEF - ABC 中，AB=2DEAB = 2DE，GG，HH 分别为 ACAC，BCBC 的中点.
(1) 求证：BD∥BD \parallel 平面 FGHFGH； (2) 若 CF⊥BCCF \perp BC，AB⊥BCAB \perp BC，求证：平面 BCD⊥BCD \perp 平面 EGHEGH.

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等差数列，数列 {1an⋅an+1}\left\{\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\right\} 的前 nn 项和为 n2n+1\frac{n}{2n+1}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(an+1)⋅2anb_n = (a_n + 1)\cdot 2^{a_n}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且点 (3,12)\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) 在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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