设函数 $f(x) = (x + a)\ln x$，$g(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}$. 已知曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $2x - y = 0$ 平行.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 是否存在自然数 $k$，使得方程 $f(x) = g(x)$ 在 $(k, k + 1)$ 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 $k$；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 $m(x) = \min \{f(x), g(x)\}$（$\min \{p, q\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较小值），求 $m(x)$ 的最大值.