如图，从点 $P_{1}(0,0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = \mathrm{e}^{x}$ 于点 $Q_{1}(0,1)$，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$，再从 $P_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$，依次重复上述过程得到一系列点：$P_{1}$，$Q_{1}$；$P_{2}$，$Q_{2}$；$\cdots$；$P_{n}$，$Q_{n}$，记 $P_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$（$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n$）.

(1) 试求 $x_{k}$ 与 $x_{k-1}$ 的关系（$2 \leqslant k \leqslant n$）； (2) 求 $\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|$.

设函数 $f(x)$ 定义在 $(0, +\infty)$ 上，$f(1) = 0$，导函数 $f'(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = f(x) + f'(x)$.

(1) 求 $g(x)$ 的单调区间和最小值； (2) 讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系； (3) 是否存在 $x_0 > 0$，使得 $|g(x) - g(x_0)| < \frac{1}{2}$ 对任意 $x > 0$ 成立？若存在，求出 $x_0$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.