观察下列等式 $1 = 1$，$2 + 3 + 4 = 9$，$3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$，$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49$. 照此规律，第 $n$ 个等式应为______.

植树节某班 $20$ 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 $10\text{ 米}$，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______$\text{米}$.

如图，从点 $P_{1}(0,0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = \mathrm{e}^{x}$ 于点 $Q_{1}(0,1)$，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$，再从 $P_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$，依次重复上述过程得到一系列点：$P_{1}$，$Q_{1}$；$P_{2}$，$Q_{2}$；$\cdots$；$P_{n}$，$Q_{n}$，记 $P_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$（$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n$）.

(1) 试求 $x_{k}$ 与 $x_{k-1}$ 的关系（$2 \leqslant k \leqslant n$）； (2) 求 $\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|$.