设 $O$ 是坐标原点，$F$ 是抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$）的焦点，$A$ 是抛物线上的一点，$\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $60^{\circ}$，则 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$ 为（ ）

与直线 $x + y - 2 = 0$ 和曲线 $x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0$ 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程. (2) 若直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.