已知函数 $f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 求证：当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$； (3) 设实数 $k$ 使得 $f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 对 $x\in(0,1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.