如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $ACB$，则不等式 $f(x) \geqslant \log_2(x + 1)$ 的解集是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由图可知，折线 $ACB$ 的端点横坐标为 $-1$、$2$，且 $C=(0,2)$. 当 $-1<x\leqslant0$ 时，$f(x)=2x+2=2(x+1)>0$，而 $0<x+1\leqslant1$ 时 $\log_2(x+1)\leqslant0$，所以不等式成立.

当 $0\leqslant x\leqslant1$ 时，$f(x)=2-x\geqslant1$，且 $1\leqslant x+1\leqslant2$，故 $\log_2(x+1)\leqslant1$，不等式仍成立. 当 $1<x\leqslant2$ 时，$f(x)=2-x<1$，而 $\log_2(x+1)>1$，不等式不成立. 另外，$x=-1$ 不在对数函数定义域内，因此解集为 $\{x\mid-1<x\leqslant1\}$，故选 C. \end{solution}

汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗$1\text{ 升}$汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 燃油效率越大，在相同路程下消耗的汽油越少. 由图可知，乙车的燃油效率最大值超过 $5\text{ 千米/升}$，故 A 错；在相同速度和路程下，甲车的燃油效率高于丙车，故甲车不可能消耗汽油最多，B 错；甲车以 $80\text{ 千米/小时}$ 行驶 $1$ 小时的路程为 $80\text{ 千米}$，图中该速度下燃油效率为 $10\text{ 千米/升}$，所以消耗汽油 $80\div10=8\text{ 升}$，C 错.

在不超过 $80\text{ 千米/小时}$ 的速度范围内，图中丙车的燃油效率不低于乙车，因此相同条件下丙车消耗的汽油不多于乙车，故 D 正确. \end{solution}

函数

(1) 若 $a=1$，则 $f(x)$ 的最小值为______； (2) 若 $f(x)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $-1$，$\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty)$ \end{answer}

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=1$ 时，$x<1$ 时 $f(x)=2^x-1$，该函数递增且下界为 $-1$. 当 $x\geqslant1$ 时，$f(x)=4(x-1)(x-2)$，其顶点为 $\left(\frac32,-1\right)$，且顶点在定义域内. 所以 $f(x)$ 的最小值为 $-1$. \item 当 $x<1$ 时，方程 $f(x)=0$ 等价于 $2^x=a$，它有一个定义域内的根当且仅当 $0<a<2$. 当 $x\geqslant1$ 时，方程 $f(x)=0$ 的根为 $x=a$ 和 $x=2a$，分别满足定义域条件当且仅当 $a\geqslant1$ 和 $a\geqslant\frac12$.

当 $a\leqslant0$ 时没有零点；当 $0<a<\frac12$ 时只有第一个分支的一个零点；当 $\frac12\leqslant a<1$ 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 $1\leqslant a<2$ 时共有三个零点. 当 $a\geqslant2$ 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，$a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}