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12
三角函数
★★★☆☆
在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，
a
=
4
a = 4
a
=
4
，
b
=
5
b = 5
b
=
5
，
c
=
6
c = 6
c
=
6
，则
sin
2
A
sin
C
=
\frac{\sin 2A}{\sin C} =
s
i
n
C
s
i
n
2
A
=
______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 由正弦定理，
sin
A
sin
C
=
a
c
=
4
6
=
2
3
\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}
sin
C
sin
A
=
c
a
=
6
4
=
3
2
. 由余弦定理，
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
5
2
+
6
2
−
4
2
2
×
5
×
6
=
3
4
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\times5\times6}=\frac{3}{4}
cos
A
=
2
b
c
b
2
+
c
2
−
a
2
=
2
×
5
×
6
5
2
+
6
2
−
4
2
=
4
3
所以
sin
2
A
sin
C
=
2
cos
A
sin
A
sin
C
=
2
×
3
4
×
2
3
=
1
\dfrac{\sin2A}{\sin C}=2\cos A\dfrac{\sin A}{\sin C}=2\times\dfrac34\times\dfrac23=1
sin
C
sin
2
A
=
2
cos
A
sin
C
sin
A
=
2
×
4
3
×
3
2
=
1
. \end{solution}
2015 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题
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15
三角函数
★★☆☆☆
已知函数
f
(
x
)
=
2
sin
x
2
cos
x
2
−
2
sin
2
x
2
f(x)=\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\sin^2\dfrac{x}{2}
f
(
x
)
=
2
sin
2
x
cos
2
x
−
2
sin
2
2
x
.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最小正周期； (2) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
[
−
π
,
0
]
\left[-\pi,0\right]
[
−
π
,
0
]
上的最小值.
2015 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题
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