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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 (lg⁡20)2cos⁡x>1(\lg 20)^{2\cos x} > 1（x∈(0,π)x \in (0,\pi)）的解为______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=12x+2f(x) = \frac{1}{2^{x} + \sqrt{2}}，利用课本中推导等差数列前 nn 项和公式的方法，可求得 f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)f(-5) + f(-4) + \cdots + f(0) + \cdots + f(5) + f(6) 的值为______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
关于函数 f(x)=(sin⁡x)2−(23)∣x∣+12f(x) = (\sin x)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} + \frac{1}{2}，有下面四个结论：
① f(x)f(x) 是奇函数； ② 当 x>2003x > 2003 时，f(x)>12f(x) > \frac{1}{2} 恒成立； ③ f(x)f(x) 的最大值是 32\frac{3}{2}； ④ f(x)f(x) 的最小值是 −12-\frac{1}{2}.
其中正确结论的个数为（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2003 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x13−x−135f(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}}{5}，g(x)=x13+x−135g(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}}{5}.
(1) 证明 f(x)f(x) 是奇函数，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 分别计算 f(4)−5f(2)g(2)f(4) - 5f(2)g(2) 和 f(9)−5f(3)g(3)f(9) - 5f(3)g(3) 的值，由此概括出涉及函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的对所有不等于零的实数 xx 都成立的一个等式，并加以证明.

2003 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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