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01三角函数★☆☆☆☆
α\alpha 是第四象限角，tan⁡α=−512\tan \alpha = -\frac{5}{12}，则 sin⁡α=\sin \alpha =（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
−15-\frac{1}{5}
C.
513\frac{5}{13}
D.
−513-\frac{5}{13}

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
设 aa 是实数，且 a1+i+1+i2\frac{a}{1+\mathrm{i}} + \frac{1+\mathrm{i}}{2} 是实数，则 a=a =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(−5,6)\boldsymbol{a} = (-5, 6)，b=(6,5)\boldsymbol{b} = (6, 5)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b}（ ）
A.
垂直
B.
不垂直也不平行
C.
平行且同向
D.
平行且反向

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的离心率为 22，焦点是 (−4,0)(-4,0)，(4,0)(4,0)，则双曲线方程为（ ）
A.
x24−y212=1\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1
B.
x212−y24=1\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1
C.
x210−y26=1\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1
D.
x26−y210=1\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=1

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，集合 {1,a+b,a}={0,ba,b}\{1, a + b, a\} = \left\{0, \frac{b}{a}, b\right\}，则 b−a=b - a =（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
22
D.
−2-2

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06解析几何★☆☆☆☆
下面给出的四个点中，到直线 x−y+1=0x - y + 1 = 0 的距离为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，且位于
{x+y−1<0,x−y+1>0\begin{cases} x + y - 1 < 0,\\ x - y + 1 > 0 \end{cases}
表示的平面区域内的点是（ ）
A.
(1,1)(1,1)
B.
(−1,1)(-1,1)
C.
(−1,−1)(-1,-1)
D.
(1,−1)(1,-1)

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=2ABAA_{1} = 2AB，则异面直线 A1BA_{1}B 与 AD1AD_{1} 所成角的余弦值为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a>1a > 1，函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x 在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 12\frac{1}{2}，则 a=a =（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
222 \sqrt{2}
D.
44

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
f(x)f(x)，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x)，则“f(x)f(x)，g(x)g(x) 均为偶函数”是“h(x)h(x) 为偶函数”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
既不充分也不必要的条件

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−1x)n\left(x^{2} - \frac{1}{x}\right)^n 的展开式中，常数项为 1515，则 n=n =（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

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11解析几何★★★☆☆
抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点为 FF，准线为 ll，经过 FF 且斜率为 3\sqrt{3} 的直线与抛物线在 xx 轴上方的部分相交于点 AA，AK⊥lAK \perp l，垂足为 KK，且 △AKF\triangle AKF 的面积是（ ）
A.
44
B.
333\sqrt{3}
C.
434\sqrt{3}
D.
88

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12三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡2x−2cos⁡2x2f(x) = \cos^{2} x - 2\cos^{2} \frac{x}{2} 的一个单调增区间是（ ）
A.
(π3,2π3)\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)
B.
(π6,π2)\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)
C.
(0,π3)\left(0,\frac{\pi}{3}\right)
D.
(−π6,π6)\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right)

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
从班委会 55 名成员中选出 33 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.

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14指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与函数 y=log⁡3xy = \log_3 x（x>0x > 0）的图象关于直线 y=xy = x 对称，则 f(x)=f(x) =______.

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15数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}，已知 S1S_{1}，2S22S_{2}，3S33S_{3} 成等差数列，则 {an}\{a_{n}\} 的公比为______.

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16立体几何初步★★★★☆
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边长为 22，则该三角形的斜边长为______.

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17三角函数★★★☆☆
设锐角三角形 ABCABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=2bsin⁡Aa = 2b\sin A.
(1) 求 BB 的大小； (2) 求 cos⁡A+sin⁡C\cos A + \sin C 的取值范围.

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18概率与统计★★★☆☆
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期为 ξ\xi 的分布列为
商场经销一件该商品，采用 11 期付款，其利润为 200200 元；分 22 期或 33 期付款，其利润为 250250 元；分 44 期或 55 期付款，其利润为 300300 元. η\eta 表示经销一件该商品的利润.
(1) 求事件 AA：“购买该商品的 33 位顾客中，至少有 11 位采用 11 期付款”的概率 P(A)P(A)； (2) 求 η\eta 的分布列及期望 E(η)E(\eta).

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19立体几何初步★★★★☆
四棱锥 S−ABCDS-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，侧面 SBC⊥SBC \perp 底面 ABCDABCD. 已知 ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^{\circ}，AB=2AB = 2，BC=22BC = 2\sqrt{2}，SA=SB=3SA = SB = \sqrt{3}.
(1) 证明：SA⊥BCSA \perp BC； (2) 求直线 SDSD 与平面 SABSAB 所成角的大小.

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ex−e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}.
(1) 证明：f(x)f(x) 的导数 f′(x)⩾2f'(x) \geqslant 2； (2) 若对所有 x⩾0x \geqslant 0 都有 f(x)⩾axf(x) \geqslant ax，求 aa 的取值范围.

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x23+y22=1\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线交椭圆于 BB，DD 两点，过 F2F_2 的直线交椭圆于 AA，CC 两点，且 AC⊥BDAC \perp BD，垂足为 PP.
(1) 设 PP 点的坐标为 (x0,y0)(x_0, y_0)，证明：x023+y022<1\frac{x_0^{2}}{3} + \frac{y_0^{2}}{2} < 1； (2) 求四边形 ABCDABCD 的面积的最小值.

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中 a1=2a_{1} = 2，an+1=(2−1)(an+2)a_{n+1} = (\sqrt{2} - 1)(a_{n} + 2)，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 中 b1=2b_1 = 2，bn+1=3bn+42bn+3b_{n+1} = \frac{3b_n + 4}{2b_n + 3}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots，证明：2<bn⩽a4n−3\sqrt{2} < b_n \leqslant a_{4n-3}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots.

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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