设函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}$.

(1) 证明：$f(x)$ 的导数 $f'(x) \geqslant 2$； (2) 若对所有 $x \geqslant 0$ 都有 $f(x) \geqslant ax$，求 $a$ 的取值范围.