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20
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，其中
a
1
=
1
a_1=1
a
1
=
1
，
a
2
=
3
a_2=3
a
2
=
3
，
2
a
n
=
a
n
+
1
+
a
n
−
1
2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}
2
a
n
=
a
n
+
1
+
a
n
−
1
（
n
⩾
2
n\geqslant 2
n
⩾
2
）. 记数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
，数列
{
ln
S
n
}
\{\ln S_n\}
{
ln
S
n
}
的前
n
n
n
项和为
U
n
U_n
U
n
.
(1) 求
U
n
U_n
U
n
； (2) 设
F
n
(
x
)
=
e
U
n
2
n
(
n
!
)
2
x
2
n
F_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{U_n}}{2n(n!)^2}x^{2n}
F
n
(
x
)
=
2
n
(
n
!
)
2
e
U
n
x
2
n
（
x
>
0
x>0
x
>
0
），
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
F
k
′
(
x
)
T_n(x)=\sum_{k=1}^{n}F_k'(x)
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
F
k
′
(
x
)
（其中
F
k
′
(
x
)
F_k'(x)
F
k
′
(
x
)
为
F
k
(
x
)
F_k(x)
F
k
(
x
)
的导函数），计算
lim
n
→
∞
T
n
(
x
)
T
n
+
1
(
x
)
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}
n
→
∞
lim
T
n
+
1
(
x
)
T
n
(
x
)
.
2006 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
a
ln
x
f(x)=x^2+\frac{2}{x}+a\ln x
f
(
x
)
=
x
2
+
x
2
+
a
ln
x
（
x
>
0
x>0
x
>
0
），
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的导函数是
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
. 对任意两个不相等的正数
x
1
x_1
x
1
，
x
2
x_2
x
2
，证明：
(1) 当
a
⩽
0
a\leqslant 0
a
⩽
0
时，
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
2
>
f
(
x
1
+
x
2
2
)
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)
2
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
>
f
(
2
x
1
+
x
2
)
； (2) 当
a
⩽
4
a\leqslant 4
a
⩽
4
时，
∣
f
′
(
x
1
)
−
f
′
(
x
2
)
∣
>
∣
x
1
−
x
2
∣
|f'(x_1)-f'(x_2)|>|x_1-x_2|
∣
f
′
(
x
1
)
−
f
′
(
x
2
)
∣
>
∣
x
1
−
x
2
∣
.
2006 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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