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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简下列各题.
(1) 12+1−12−1\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}； (2) (a2−b2)3a3+b3÷(b+a)2a2−ab+b2×1(b−a)3\frac{(a^2-b^2)^3}{a^3+b^3}\div\frac{(b+a)^2}{a^2-ab+b^2}\times\frac{1}{(b-a)^3}； (3) 2lg⁡6−lg⁡31+12lg⁡0.36+13lg⁡8\frac{2\lg 6-\lg 3}{1+\frac{1}{2}\lg 0.36+\frac{1}{3}\lg 8}； (4) x4+x2+1x3−1+x(x−2)−2(x−2)x2−3x+2\frac{x^4+x^2+1}{x^3-1}+\frac{x(x-2)-2(x-2)}{x^2-3x+2}.

1977 · 山西 · 第 1 题 · 解答题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
作下列各题.
(1) 当 aa，bb，c>0c>0 时，求证：log⁡ab⋅log⁡bc⋅log⁡ca=1\log_a b\cdot\log_b c\cdot\log_c a=1. (2) 已知 y=lg⁡11−1−xy=\lg \frac{1}{1-\sqrt{1-x}}，求定义域. (3) 汽车往返甲乙两地之间，上行速度为 30 公里/小时30\text{ 公里/小时}，下行速度为 60 公里/小时60\text{ 公里/小时}. 求往返平均速度.

1977 · 山西 · 第 2 题 · 解答题

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03立体几何初步★★★☆☆
试证梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.
已知：如图，梯形 ABCDABCD，AD∥BCAD\parallel BC，MM，NN 分别为 ABAB，DCDC 之中点.
求证：
(1) MN∥ADMN\parallel AD，MN∥BCMN\parallel BC； (2) MN=12(AD+BC)MN=\frac{1}{2}(AD+BC).

1977 · 山西 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
有一块形状为直角三角形的白铁皮，其一直角边和斜边分别为 6 dm6\mathrm{~dm} 和 10 dm10\mathrm{~dm}. 若从这块白铁皮剪一块最大圆材料，求这圆材料的面积有多大？（π\pi 取 3.143.14）

1977 · 山西 · 第 4 题 · 解答题

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05三角函数★★☆☆☆
证明恒等式 1+sin⁡(180∘−α)−cos⁡(180∘+α)+sin⁡2α1−sin⁡(180∘+α)+cos⁡(α−360∘)=sin⁡α+cos⁡α\frac{1+\sin(180^\circ-\alpha)-\cos(180^\circ+\alpha)+\sin2\alpha}{1-\sin(180^\circ+\alpha)+\cos(\alpha-360^\circ)}=\sin\alpha+\cos\alpha.

1977 · 山西 · 第 5 题 · 解答题

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06三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的三个内角是 α\alpha，β\beta，γ\gamma，而 tan⁡α\tan\alpha，tan⁡β\tan\beta 是方程 x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 的两个根. 求 γ\gamma.

1977 · 山西 · 第 6 题 · 解答题

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07解析几何★★☆☆☆
抛物线的顶点在原点，对称轴为 yy 轴，过点 (1,−1)(1,-1)，求抛物线方程，焦点坐标，准线方程，开口方向.

1977 · 山西 · 第 7 题 · 解答题

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08解析几何★★★☆☆
当 kk 取何值时，直线 kx−y−3=0kx-y-3=0 与圆 2x2+2y2−9=02x^2+2y^2-9=0 相切，并求出切点坐标.

1977 · 山西 · 第 8 题 · 解答题

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09导数及其应用★★☆☆☆
已知 f(x)=xln⁡(2−x)+1+3x2f(x)=x\ln(2-x)+\sqrt{1+3x^2}，求 f′(1)f'(1).

1977 · 山西 · 第 9 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★☆☆
一水库的水闸为一等腰梯形，上底为 8 米8\text{ 米}，下底为 4 米4\text{ 米}，高为 10 米10\text{ 米}. 求当水面与上底相齐时水闸所受的压力.（已知水的比重为 1 吨重/立方米1\text{ 吨重/立方米}）

1977 · 山西 · 第 10 题 · 解答题

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