过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2} + y^{2} - 4y = 0$ 所截得的弦长为（ ）

“$m > n > 0$”是“方程 $mx^{2} + ny^{2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”的（ ）

(1) 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$），离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$； (2) 如图，$P$ 是双曲线 $C$ 上一点，$A$，$B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，$\lambda\in\left[\frac{1}{3},2\right]$，求 $\triangle AOB$ 面积的取值范围.