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02数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞3n+13n+1+2n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n+1}{3^{n+1}+2^n}=______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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05数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_1=1. 若 a1a_1，a2a_2，a5a_5 成等比数列，则 an=a_n=______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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09数列★★☆☆☆
已知无穷数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 Sn=13an−1S_n=\frac{1}{3}a_n-1，则数列 {an}\{a_n\} 的各项和为______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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11数列★★★☆☆
已知 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，b1b_1，b2b_2，⋯\cdots，bnb_n（nn 是正整数），令 L1=b1+b2+⋯+bnL_1=b_1+b_2+\cdots+b_n，L2=b2+b3+⋯+bnL_2=b_2+b_3+\cdots+b_n，⋯\cdots，Ln=bnL_n=b_n. 某人用图 22 分析得到恒等式 a1b1+a2b2+⋯+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+⋯+ckLk+⋯+cnLna_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=a_1L_1+c_2L_2+c_3L_3+\cdots+c_kL_k+\cdots+c_nL_n，则 ck=c_k=______（2⩽k⩽n2\leqslant k\leqslant n）.

2008 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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21数列★★★★★
在直角坐标平面 xOyxOy 上的一列点 A1(1,a1)A_1(1,a_1)，A2(2,a2)A_2(2,a_2)，⋯\cdots，An(n,an)A_n(n,a_n)，⋯\cdots，简记为 {An}\{A_n\}. 若由 bn=AnAn+1→⋅jb_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\boldsymbol{j} 构成的数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn+1>bnb_{n+1}>b_n，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，其中 j\boldsymbol{j} 为方向与 yy 轴正方向相同的单位向量，则称 {An}\{A_n\} 为 TT 点列.
(1) 判断 A1(1,1)A_1(1,1)，A2(2,12)A_2\left(2,\frac{1}{2}\right)，A3(3,13)A_3\left(3,\frac{1}{3}\right)，⋯\cdots，An(n,1n)A_n\left(n,\frac{1}{n}\right)，⋯\cdots，是否为 TT 点列，并说明理由； (2) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，且点 A2A_2 在点 A1A_1 的右上方. 任取其中连续三点 AkA_k，Ak+1A_{k+1}，Ak+2A_{k+2}，判断 △AkAk+1Ak+2\triangle A_kA_{k+1}A_{k+2} 的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并予以证明； (3) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，正整数 1⩽m<n<p<q1\leqslant m<n<p<q 满足 m+q=n+pm+q=n+p，求证：AnAq→⋅j>AmAp→⋅j\overrightarrow{A_nA_q}\cdot\boldsymbol{j}>\overrightarrow{A_mA_p}\cdot\boldsymbol{j}.

2008 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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