已知一个凸多面体共有 $9$ 个面，所有棱长均为 $1$，其平面展开图如图 $1$ 所示，则该凸多面体的体积 $V=$______.

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图 $3$ 所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：

① 凳子高度为 $30 \mathrm{~cm}$； ② 三根细钢管相交处的节点 $O$ 与凳面三角形 $ABC$ 重心的连线垂直于凳面和地面.

(1) 若凳面是边长为 $20 \mathrm{~cm}$ 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为 $45^\circ$，确定节点 $O$ 分细钢管上下两段的比值（精确到 $0.01$）； (2) 若凳面是顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形，腰长为 $24 \mathrm{~cm}$，节点 $O$ 分细钢管上下两段之比为 $2:3$. 确定三根细钢管的长度（精确到 $0.1 \mathrm{~cm}$）.