已知 $F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两焦点，以线段 $F_{1}F_{2}$ 为边作正三角形 $MF_{1}F_{2}$，若边 $MF_{1}$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

已知方向向量为 $\boldsymbol{v} = (1, \sqrt{3})$ 的直线 $l$ 过点 $(0, -2\sqrt{3})$ 和椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的焦点，且椭圆 $C$ 的中心关于直线 $l$ 的对称点在椭圆 $C$ 的右准线上.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 是否存在过点 $E(-2,0)$ 的直线 $m$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$，$N$，满足 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\cot \angle MON \neq 0$（$O$ 为原点）. 若存在，求直线 $m$ 的方程；若不存在，请说明理由.