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02
数列
★☆☆☆☆
已知等差数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
7
+
a
9
=
16
a_7 + a_9 = 16
a
7
+
a
9
=
16
，
a
4
=
1
a_4 = 1
a
4
=
1
，则
a
12
a_{12}
a
12
的值是（ ）
A.
15
15
15
B.
30
30
30
C.
31
31
31
D.
64
64
64
2005 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题
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15
数列
★★☆☆☆
若常数
b
b
b
满足
∣
b
∣
>
1
|b| > 1
∣
b
∣
>
1
，则
lim
n
→
∞
1
+
b
+
b
2
+
⋯
+
b
n
−
1
b
n
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-1}}{b^n} =
n
→
∞
lim
b
n
1
+
b
+
b
2
+
⋯
+
b
n
−
1
=
______.
2005 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题
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22
数列
★★★★★
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
a
a_1 = a
a
1
=
a
，
a
n
+
1
=
1
+
1
a
n
a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}
a
n
+
1
=
1
+
a
n
1
. 我们知道当
a
a
a
取不同的值时，得到不同的数列，如当
a
=
1
a = 1
a
=
1
时，得到无穷数列：
1
1
1
，
2
2
2
，
3
2
\frac{3}{2}
2
3
，
5
3
\frac{5}{3}
3
5
，
⋯
\cdots
⋯
；当
a
=
−
1
2
a = -\frac{1}{2}
a
=
−
2
1
时，得到有穷数列：
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
，
−
1
-1
−
1
，
0
0
0
.
(1) 求当
a
a
a
为何值时，
a
4
=
0
a_4 = 0
a
4
=
0
； (2) 设数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
满足
b
1
=
−
1
b_1 = -1
b
1
=
−
1
，
b
n
+
1
=
1
b
n
−
1
b_{n+1} = \frac{1}{b_n - 1}
b
n
+
1
=
b
n
−
1
1
（
n
∈
N
+
n \in \mathbf{N}_+
n
∈
N
+
），求证
a
a
a
取数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
中的任一个数，都可以得到一个有穷数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
； (3) 若
3
2
<
a
n
<
2
\frac{3}{2} < a_n < 2
2
3
<
a
n
<
2
（
n
⩾
4
n \geqslant 4
n
⩾
4
），求
a
a
a
的取值范围.
2005 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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