已知函数 $f(x)=\left( 2x+1 \right)\mathrm{e}^x$，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f'(0)$ 的值为______.

设函数 $f(x)=x^3-ax-b$，$x\in \mathbf{R}$，其中 $a$，$b\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\ne x_0$，求证：$x_1+2x_0=0$； (3) 设 $a>0$，函数 $g(x)=|f(x)|$，求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\dfrac14$.