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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣−1<x<1}A=\left\{x\mid -1<x<1\right\}，B={x∣0≤x≤2}B=\left\{x\mid 0\le x\le2\right\}，则 A∪B=A\cup B=（ ）
A.
{x∣−1<x<2}\left\{x\mid -1<x<2\right\}
B.
{x∣−1<x≤2}\left\{x\mid -1<x\le2\right\}
C.
{x∣0≤x<1}\left\{x\mid 0\le x<1\right\}
D.
{x∣0≤x≤2}\left\{x\mid 0\le x\le2\right\}

2021 · 北京 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 (1−i)⋅z=2(1-\mathrm{i})\cdot z=2，则 z=z=（ ）
A.
−1−i-1-\mathrm{i}
B.
−1+i-1+\mathrm{i}
C.
1−i1-\mathrm{i}
D.
1+i1+\mathrm{i}

2021 · 北京 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 [0,1][0,1]，则“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上单调递增”是“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值为 f(1)f(1)”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2021 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A.
32+32\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}
B.
3+33+\sqrt3
C.
32+3\dfrac{3}{2}+\sqrt3
D.
3+323+\dfrac{\sqrt3}{2}

2021 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的离心率为 22，且过点 (2,3)(\sqrt2,\sqrt3)，则双曲线的方程为（ ）
A.
2x2−y2=12x^2-y^2=1
B.
x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1
C.
5x2−3y2=15x^2-3y^2=1
D.
x22−y26=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{6}=1

2021 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种. 这五种规格党旗的长 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5（单位：cm\mathrm{cm}）成等差数列，对应的宽为 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4，b5b_5（单位：cm\mathrm{cm}），且长与宽之比都相等. 已知 a1=288a_1=288，a5=96a_5=96，b1=192b_1=192，则 b3=b_3=（ ）
A.
64
B.
96
C.
128
D.
160

2021 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x−cos⁡2xf(x)=\cos x-\cos2x 是（ ）
A.
奇函数，且最大值为 22
B.
偶函数，且最大值为 22
C.
奇函数，且最大值为 98\dfrac{9}{8}
D.
偶函数，且最大值为 98\dfrac{9}{8}

2021 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发，渗漏，流失而在水面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm\mathrm{mm}）. 24 h24\,\mathrm{h} 降雨量的等级划分如下：
等级24 h24\,\mathrm{h} 降雨量（精确到 0.10.1）
小雨0.1∼9.90.1\sim9.9
中雨10.0∼24.910.0\sim24.9
大雨25.0∼49.925.0\sim49.9
暴雨50.0∼99.950.0\sim99.9
⋯\cdots⋯\cdots
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 mm200\,\mathrm{mm}，高为 300 mm300\,\mathrm{mm} 的圆锥形雨量器. 若一次降雨过程中，该雨量器收集的 24 h24\,\mathrm{h} 的雨水高度是 150 mm150\,\mathrm{mm}（如图所示），则这 24 h24\,\mathrm{h} 降雨量的等级是（ ）
A.
小雨
B.
中雨
C.
大雨
D.
暴雨

2021 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知直线 y=kx+my=kx+m（mm 为常数）与圆 x2+y2=4x^2+y^2=4 交于点 MM，NN. 当 kk 变化时，若 ∣MN∣|MN| 的最小值为 22，则 m=m=（ ）
A.
±1\pm1
B.
±2\pm\sqrt2
C.
±3\pm\sqrt3
D.
±2\pm2

2021 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为整数的递增数列，且 a1≥3a_1\ge3. 若 a1+a2+a3+⋯+an=100a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100，则 nn 的最大值为（ ）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12

2021 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−1x)4\left(x^3-\dfrac{1}{x}\right)^4 的展开式中，常数项为______.

2021 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，点 MM 在抛物线上，MNMN 垂直 xx 轴于点 NN. 若 ∣MF∣=6|MF|=6，则点 MM 的横坐标为______；△MNF\triangle MNF 的面积为______.

2021 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 11，则 (a+b)⋅c=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=______；a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=______.

2021 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
若点 A(cos⁡θ,sin⁡θ)A(\cos\theta,\sin\theta) 关于 yy 轴的对称点为 B(cos⁡(θ+π6),sin⁡(θ+π6))B\left(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right),\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\right)，则 θ\theta 的一个取值为______.

2021 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，c=2bcos⁡Bc=2b\cos B，C=2π3C=\dfrac{2\pi}{3}.
(1) 求 BB 的大小； (2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC\triangle ABC 存在且唯一确定，求 BCBC 边上中线的长.
① c=2bc=\sqrt2b； ② △ABC\triangle ABC 的周长为 4+234+2\sqrt3； ③ △ABC\triangle ABC 的面积为 334\dfrac{3\sqrt3}{4}.

2021 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 A1D1A_1D_1 的中点，B1C1B_1C_1 与平面 CDECDE 交于点 FF.
(1) 求证：FF 为 B1C1B_1C_1 中点； (2) 若 MM 是棱 A1B1A_1B_1 上一点，且二面角 M−FC−EM-FC-E 的余弦值为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，求 A1MA1B1\dfrac{A_1M}{A_1B_1} 的值.

2021 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在核酸检测中，“kk 合 1”混采核酸检测是指：先将 kk 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 kk 个人都没感染新冠病毒，则检测结果为阴性；如果这 kk 个人中有感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行一次检测，得到每人的检测结果，检测结束. 现对 100100 人进行核酸检测，假设其中只有 22 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
(1) 将这 100100 人随机分成 1010 组，每组 1010 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.
(i) 如果感染新冠病毒的 22 人在同一组，求检测的总次数； (ii) 已知感染新冠病毒的 22 人在同一组的概率为 111\dfrac{1}{11}，设 XX 是检测的总次数，求 XX 的分布列与数学期望 EXEX； (2) 将这 100100 人随机分成 2020 组，每组 55 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测. 设 YY 是检测的总次数，试判断数学期望 EYEY 与（1）中的 EXEX 的大小.（结论不要求证明）

2021 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−2xx2+af(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.
(1) 若 a=0a=0，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x=-1 处取得极值，求 f(x)f(x) 的单调区间，并求其最大值与最小值.

2021 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−2)A(0,-2)，以椭圆 EE 的四个顶点为顶点的四边形面积为 454\sqrt5.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(0,−3)P(0,-3) 斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与直线 y=−3y=-3 交于 MM，NN. 当 ∣PM∣+∣PN∣≤15|PM|+|PN|\le15 时，求 kk 的取值范围.

2021 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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