对于实数 $a$ 和 $b$，定义运算“$\ast$”： 设 $f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)$，且关于 $x$ 的方程 $f(x) = m$ （$m \in \mathbf{R}$）恰有三个互不相等的实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，则 $x_{1}x_{2}x_{3}$ 的取值范围是______.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} + ax^{2} - \mathrm{e} x$，$a \in \mathbf{R}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 试确定 $a$ 的取值范围，使得曲线 $y = f(x)$ 上存在唯一的点 $P$，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$.