$10$ 件产品中有 $7$ 件正品，$3$ 件次品，从中任取 $4$ 件，则恰好取到 $1$ 件次品的概率是______.

随机将 $1$，$2$，$\cdots$，$2n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$n \geqslant 2$）这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_{1}$，最大数为 $a_{2}$；$B$ 组最小数为 $b_{1}$，最大数为 $b_{2}$，记 $\xi = a_{2} - a_{1}$，$\eta = b_{2} - b_{1}$.

(1) 当 $n = 3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$； (3) 对（2）中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(\bar{C})$ 和 $P(C)$ 的大小关系，并说明理由.