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01复数★☆☆☆☆
复数 i(2+i)1−2i\frac{\mathrm{i}(2 + \mathrm{i})}{1 - 2\mathrm{i}} 等于（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
11
D.
−1-1

2008 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，集合 A={x∣x2−3x+2=0}A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}，B={x∣x=2a,a∈A}B = \{x \mid x = 2a, a \in A\}，则集合 ∁U(A∪B)\complement_U(A \cup B) 中元素的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2008 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 c=2c = \sqrt{2}，b=6b = \sqrt{6}，B=120∘B = 120^{\circ}，则 aa 等于（ ）
A.
6\sqrt{6}
B.
22
C.
3\sqrt{3}
D.
2\sqrt{2}

2008 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，a1+a2=4a_{1} + a_{2} = 4，a7+a8=28a_{7} + a_{8} = 28，则该数列前 1010 项和 S10S_{10} 等于（ ）
A.
6464
B.
100100
C.
110110
D.
120120

2008 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
直线 3x−y+m=0\sqrt{3} x - y + m = 0 与圆 x2+y2−2x−2=0x^{2} + y^{2} - 2x - 2 = 0 相切，则实数 mm 等于（ ）
A.
3\sqrt{3} 或 −3-\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3} 或 333\sqrt{3}
C.
−33-3\sqrt{3} 或 3\sqrt{3}
D.
−33-3\sqrt{3} 或 333\sqrt{3}

2008 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
“a=18a = \frac{1}{8}”是“对任意的正数 xx，2x+ax⩾12x + \frac{a}{x} \geqslant 1”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2x+3f(x) = 2^{x + 3}，f−1(x)f^{-1}(x) 是 f(x)f(x) 的反函数，若 mn=16mn = 16（mm，n∈R+n \in \mathbf{R}^+），则 f−1(m)+f−1(n)f^{-1}(m) + f^{-1}(n) 的值为（ ）
A.
−2-2
B.
11
C.
44
D.
1010

2008 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左、右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，过 F1F_1 作倾斜角为 30∘30^\circ 的直线交双曲线右支于 MM 点. 若 MF2MF_{2} 垂直于 xx 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A.
6\sqrt{6}
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2008 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
如图，α⊥β\alpha \perp \beta，α∩β=l\alpha \cap \beta = l，A∈αA \in \alpha，B∈βB \in \beta，AA，BB 到 ll 的距离分别是 aa 和 bb，ABAB 与 α\alpha，β\beta 所成的角分别是 θ\theta 和 φ\varphi，ABAB 在 α\alpha，β\beta 内的射影分别是 mm 和 nn，若 a>ba > b，则（ ）
A.
θ>φ\theta > \varphi，m>nm > n
B.
θ>φ\theta >\varphi，m<nm < n
C.
θ<φ\theta < \varphi，m<nm < n
D.
θ<φ\theta < \varphi，m>nm > n

2008 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
已知实数 xx，yy 满足
{y⩾1,y⩽2x−1,x+y⩽m,\begin{cases} y \geqslant 1,\\ y \leqslant 2x - 1,\\ x + y \leqslant m, \end{cases}
如果目标函数 z=x−yz = x - y 的最小值为 −1-1，则实数 mm 等于（ ）
A.
77
B.
55
C.
44
D.
33

2008 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xyf(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），f(1)=2f(1) = 2，则 f(−3)f(-3) 等于（ ）
A.
22
B.
33
C.
66
D.
99

2008 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息. 设定原信息为 a0a1a2a_0a_1a_2，ai∈{0,1}a_i \in \{0, 1\}（i=0i = 0，11，22），传输信息为 h0a0a1a2h1h_0a_0a_1a_2h_1，其中 h0=a0⊕a1h_0 = a_0 \oplus a_1，h1=h0⊕a2h_1 = h_0 \oplus a_2，⊕\oplus 运算规则为：0⊕0=00 \oplus 0 = 0，0⊕1=10 \oplus 1 = 1，1⊕0=11 \oplus 0 = 1，1⊕1=01 \oplus 1 = 0. 例如原信息为 111111，则传输信息为 0111101111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A.
1101011010
B.
0110001100
C.
1011110111
D.
0001100011

2008 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★☆☆☆☆
lim⁡n→∞(1+a)n+1n+a=2\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{(1 + a)n + 1}{n + a} = 2，则 a=a =______.

2008 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的各顶点都在球 OO 的球面上，其中 AB:AD:AA1=1:1:2AB:AD:AA_{1} = 1:1:\sqrt{2}，AA，BB 两点的球面距离记为 mm，AA，D1D_{1} 两点的球面距离记为 nn，则 mn\frac{m}{n} 的值为______.

2008 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
关于平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，有下列三个命题：
① 若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}； ② 若 a=(1,k)\boldsymbol{a} = (1, k)，b=(−2,6)\boldsymbol{b} = (-2, 6)，a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 k=−3k = -3； ③ 非零向量 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|，则 a\boldsymbol{a} 与 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}.
其中真命题的序号为______.（写出所有真命题的序号）.

2008 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某地奥运火炬接力传递路线共分66段. 传递活动分别由66名火炬手完成. 如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种. （用数字作答）

2008 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x4cos⁡x4−23sin⁡2x4+3f(x) = 2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4} - 2\sqrt{3}\sin^2 \frac{x}{4} + \sqrt{3}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及最值； (2) 令 g(x)=f(x+π3)g(x) = f\left(x + \frac{\pi}{3}\right)，判断函数 g(x)g(x) 的奇偶性，并说明理由.

2008 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某射击测试规则为：每人最多射击 33 次，击中目标即终止射击，第 ii 次击中目标得 4−i4-i 分（i=1i = 1，22，33），33 次均未击中目标得 00 分. 已知某射手每次击中目标的概率为 0.80.8，其各次射击结果互不影响.
(1) 求该射手恰好射击两次的概率； (2) 该射手的得分记为 ξ\xi，求随机变量 ξ\xi 的分布列及数学期望.

2008 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
三棱锥被平行于底面 ABCABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1}，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，A1A⊥A_{1}A \perp 平面 ABCABC，A1A=3A_{1}A = \sqrt{3}，AB=2AB = \sqrt{2}，AC=2AC = 2，A1C1=1A_{1}C_{1} = 1，BDDC=12\frac{BD}{DC} = \frac{1}{2}.
(1) 证明：平面 A1ADA_{1}AD ⊥\perp 平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1}； (2) 求二面角 A−CC1−BA-CC_{1}-B 的大小.

2008 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y=2x2C: y = 2x^2，直线 y=kx+2y = kx + 2 交 CC 于 AA，BB 两点. MM 是线段 ABAB 的中点，过 MM 作 xx 轴的垂线交 CC 于点 NN.
(1) 证明：抛物线 CC 在点 NN 处的切线与 ABAB 平行； (2) 是否存在实数 kk 使 NA→⋅NB→=0\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0. 若存在，求 kk 的值；若不存在，说明理由.

2008 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=kx+1x2+cf(x) = \frac{kx + 1}{x^2 + c}（c>0c > 0且 c≠1c \neq 1，k∈Rk \in \mathbf{R}）恰有一个极大值点和一个极小值点. 其中一个是 x=−cx = -c.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的另一个极值点； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极大值 MM 和极小值 mm，并求 M−m⩾1M - m \geqslant 1 时 kk 的取值范围.

2008 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=35a_1 = \frac{3}{5}，an+1=3an2an+1a_{n+1} = \frac{3a_n}{2a_n + 1}，n=1n = 1，22，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对任意的 x>0x > 0，an⩾11+x−1(1+x)2(23n−x)a_{n} \geqslant \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} \left( \frac{2}{3^{n}} - x \right)，n=1n = 1，22，⋯\cdots； (3) 证明：a1+a2+⋯+an>n2n+1a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}.

2008 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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