已知函数 $f(x) = \frac{kx + 1}{x^2 + c}$（$c > 0$且 $c \neq 1$，$k \in \mathbf{R}$）恰有一个极大值点和一个极小值点. 其中一个是 $x = -c$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的另一个极值点； (2) 求函数 $f(x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$，并求 $M - m \geqslant 1$ 时 $k$ 的取值范围.