定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy$（$x$，$y \in \mathbf{R}$），$f(1) = 2$，则 $f(-3)$ 等于（ ）

已知抛物线 $C: y = 2x^2$，直线 $y = kx + 2$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. $M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.

(1) 证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行； (2) 是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0$. 若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由.