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04
数列
★★☆☆☆
已知
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
是等差数列，
a
1
+
a
2
=
4
a_{1} + a_{2} = 4
a
1
+
a
2
=
4
，
a
7
+
a
8
=
28
a_{7} + a_{8} = 28
a
7
+
a
8
=
28
，则该数列前
10
10
10
项和
S
10
S_{10}
S
10
等于（ ）
A.
64
64
64
B.
100
100
100
C.
110
110
110
D.
120
120
120
2008 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题
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13
数列
★☆☆☆☆
lim
n
→
∞
(
1
+
a
)
n
+
1
n
+
a
=
2
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{(1 + a)n + 1}{n + a} = 2
n
→
∞
lim
n
+
a
(
1
+
a
)
n
+
1
=
2
，则
a
=
a =
a
=
______.
2008 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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22
数列
★★★★★
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的首项
a
1
=
3
5
a_1 = \frac{3}{5}
a
1
=
5
3
，
a
n
+
1
=
3
a
n
2
a
n
+
1
a_{n+1} = \frac{3a_n}{2a_n + 1}
a
n
+
1
=
2
a
n
+
1
3
a
n
，
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
.
(1) 求
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 证明：对任意的
x
>
0
x > 0
x
>
0
，
a
n
⩾
1
1
+
x
−
1
(
1
+
x
)
2
(
2
3
n
−
x
)
a_{n} \geqslant \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} \left( \frac{2}{3^{n}} - x \right)
a
n
⩾
1
+
x
1
−
(
1
+
x
)
2
1
(
3
n
2
−
x
)
，
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
； (3) 证明：
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
>
n
2
n
+
1
a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
>
n
+
1
n
2
.
2008 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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