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12数列★★☆☆☆
求极限：lim⁡n→∞(1n2+2n2+3n2+⋯+2nn2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + \cdots + \frac{2n}{n^2}\right).

1987 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
设数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 的前 nn 项的和 SnS_n 与 ana_n 满足 Sn=kan+1S_n = ka_n + 1（其中 kk 是与 nn 无关的常数，且 k≠1k \neq 1）.
(1) 试写出用 nn，kk 表示的 ana_n 的表达式； (2) 若 lim⁡n→∞Sn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n = 1，求 kk 的取值范围.

1987 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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