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01平面向量★☆☆☆☆
已知向量 OA→=(−1,2)\overrightarrow{OA} = (-1, 2)，OB→=(3,m)\overrightarrow{OB} = (3, m)，若 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}，则 m=m =______.

2000 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=log⁡22x−13−xy = \log_2 \frac{2x - 1}{3 - x} 的定义域为______.

2000 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★★☆☆☆
圆锥曲线
{x=4sec⁡θ+1,y=3tan⁡θ,\begin{cases} x = 4 \sec \theta + 1,\\ y = 3 \tan \theta, \end{cases}
的焦点坐标是______.

2000 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04数列★★☆☆☆
计算： lim⁡n→∞(nn+2)n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n =______.

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=2x+bf(x) = 2^{x} + b 的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象经过点 Q(5,2)Q(5,2)，则 b=b=______.

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06函数与初等函数★★★☆☆
根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDPGDP（GDPGDP 是指国内生产总值）4035 亿元4035\text{ 亿元}，2000 年上海市 GDPGDP 预期增长 9%9\%. 市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%0.08\%，若 GDPGDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDPGDP 达到或超过 1999 年的 2 倍2\text{ 倍}，至少需要______年\text{年}. 按：1999 年本市常住人口总数约 1300 万1300\text{ 万}.

2000 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 AA：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥. 命题 AA 的等价命题 BB 可以是：底面为正三角形，且______的三棱锥是正三棱锥.

2000 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间 [0,1][0,1] 上的图象为如图所示的线段 ABAB，则在区间 [1,2][1,2] 上 f(x)=f(x) =______.

2000 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (x−1)11(x - 1)^{11} 的展开式中，系数最小的项的系数为______. （结果用数值表示）

2000 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是______.

2000 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，若过点 (3,0)(3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=4cos⁡θ\rho = 4\cos \theta 于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=|AB| =______.

2000 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，若 a10=0a_{10} = 0，则有等式 a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a19−na_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{19-n}（n<19n < 19，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，若 b9=1b_{9} = 1，则有等式______成立.

2000 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13复数★★☆☆☆
复数 z=−3(cos⁡π5−isin⁡π5)z = -3\left(\cos \frac{\pi}{5} - \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{5}\right)（i\mathrm{i} 是虚数单位）的三角形式是（ ）
A.
3[cos⁡(−π5)+isin⁡(−π5)]3\left[\cos \left(-\frac{\pi}{5}\right) + \mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi}{5}\right)\right]
B.
3(cos⁡π5+isin⁡π5)3\left(\cos\frac{\pi}{5}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{5}\right)
C.
3(cos⁡4π5+isin⁡4π5)3\left(\cos\frac{4\pi}{5}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{5}\right)
D.
3(cos⁡6π5−isin⁡6π5)3\left(\cos \frac{6\pi}{5} -\mathrm{i}\sin \frac{6\pi}{5}\right)

2000 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 多选题

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14立体几何初步★★☆☆☆
设有不同直线 aa，bb 和不同的平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma，给出下列三个命题：
① 若 a∥αa \parallel \alpha，b∥αb \parallel \alpha，则 a∥ba \parallel b； ② 若 a∥αa \parallel \alpha，a∥βa \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ\beta \perp \gamma，则 α∥β\alpha \parallel \beta.
其中正确的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2000 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 S={y∣y=3x,x∈R}S = \{y \mid y = 3^x, x \in \mathbf{R}\}，T={y∣y=x2−1,x∈R}T = \{y \mid y = x^2 - 1, x \in \mathbf{R}\}，则 S∩TS \cap T 是（ ）
A.
SS
B.
TT
C.
∅\varnothing
D.
有限集

2000 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
下列命题中正确的命题是（ ）
A.
若点 P(a,2a)P(a, 2a)（a≠0a \neq 0）为角 α\alpha 终边上一点，则 sin⁡α=255\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}
B.
同时满足 sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2}，cos⁡α=32\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} 的角 α\alpha 有且只有一个
C.
当 ∣a∣<1|a| < 1 时，tan⁡(arcsin⁡a)\tan (\arcsin a) 的值恒正
D.
三角方程 tan⁡(x+π3)=3\tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} 的解集为 {x∣x=kπ,k∈Z}\{x \mid x = k\pi, k \in \mathbf{Z}\}

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17解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点分别为 F1(−22,0)F_{1}(-2\sqrt{2},0) 和 F2(22,0)F_{2}(2\sqrt{2},0). 长轴长为 6，设直线 y=x+2y = x + 2 交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的中点坐标.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图所示四面体 ABCDABCD 中，ABAB，BCBC，BDBD 两两互相垂直，且 AB=BC=2AB = BC = 2，EE 是 ACAC 中点，异面直线 ADAD 与 BEBE 所成的角的大小为 arccos⁡1010\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}，求四面体 ABCDABCD 的体积.

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2x+axf(x) = \frac{x^2 + 2x + a}{x}，x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求函数 f(x)f(x) 的最小值； (2) 若对任意 x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，试求实数 aa 的取值范围.

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20函数与初等函数★★★★☆
根据指令 (r,θ)(r,\theta)（r⩾0r \geqslant 0，−180∘⩽θ⩽180∘-180^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 θ\theta（θ\theta 为正时，按逆时针方向旋转 θ\theta，θ\theta 为负时，按顺时针方向旋转 −θ-\theta），再朝其面对的方向沿直线行走距离 rr.
(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 xx 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点 (4,4)(4,4)； (2) 机器人在完成该指令后，发现在点 (17,0)(17,0) 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 2 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令.（结果精确到小数点后两位）

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21数列★★★★★
在 xOyxOy 平面上有一点列 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1},b_{1})，P2(a2,b2)P_{2}(a_{2},b_{2})，⋯\cdots，Pn(an,bn)P_{n}(a_{n},b_{n})，⋯\cdots，对每个自然数 nn，点 PnP_{n} 位于函数 y=2000⋅(a10)xy = 2000 \cdot \left(\frac{a}{10}\right)^{x}（0<a<100 < a < 10）的图象上，且点 PnP_{n}，点 (n,0)(n,0) 与点 (n+1,0)(n + 1,0) 构成一个以 PnP_{n} 为顶点的等腰三角形.
(1) 求点 PnP_{n} 的纵坐标 bnb_{n} 的表达式； (2) 若对每个自然数 nn，以 bnb_{n}，bn+1b_{n+1}，bn+2b_{n+2} 为边长能构成一个三角形，求 aa 取值范围； (3) 设 Bn=b1b2⋯bnB_{n} = b_{1}b_{2}\cdots b_{n}（n∈Nn \in \mathbf{N}），若 aa 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 {Bn}\{B_{n}\} 的最大项的项数.

2000 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★★★☆
已知复数 z0=1−miz_0 = 1 - m\mathrm{i}（m>0m > 0），z=x+yiz = x + y\mathrm{i} 和 ω=x′+y′i\omega = x' + y'\mathrm{i}，其中 xx，yy，x′x'，y′y' 均为实数，i\mathrm{i} 为虚数单位，且对于任意复数 zz，有 ω=z0‾⋅z‾\omega = \overline{z_0}\cdot\overline{z}，∣ω∣=2∣z∣|\omega| = 2|z|.
(1) 试求 mm 的值，并分别写出 x′x' 和 y′y' 用 xx，yy 表示的关系式； (2) 将 (x,y)(x, y) 作为点 PP 的坐标，(x′,y′)(x', y') 作为点 QQ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 PP 变到这一平面上的点 QQ，当点 PP 在直线 y=x+1y = x + 1 上移动时，试求点 PP 经该变换后得到的点 QQ 的轨迹方程； (3) 是否存在这样的直线：它上面的任一点经过上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

2000 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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