已知函数 $f(x) = \frac{x^2 + 2x + a}{x}$，$x \in [1, +\infty)$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值； (2) 若对任意 $x \in [1, +\infty)$，$f(x) > 0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围.