已知 $f(x) = 2^{x} + b$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，若 $y = f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$，则 $b=$______.

根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 $GDP$（$GDP$ 是指国内生产总值）$4035\text{ 亿元}$，2000 年上海市 $GDP$ 预期增长 $9\%$. 市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 $0.08\%$，若 $GDP$ 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 $GDP$ 达到或超过 1999 年的 $2\text{ 倍}$，至少需要______$\text{年}$. 按：1999 年本市常住人口总数约 $1300\text{ 万}$.

在 $xOy$ 平面上有一点列 $P_{1}(a_{1},b_{1})$，$P_{2}(a_{2},b_{2})$，$\cdots$，$P_{n}(a_{n},b_{n})$，$\cdots$，对每个自然数 $n$，点 $P_{n}$ 位于函数 $y = 2000 \cdot \left(\frac{a}{10}\right)^{x}$（$0 < a < 10$）的图象上，且点 $P_{n}$，点 $(n,0)$ 与点 $(n + 1,0)$ 构成一个以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形.

(1) 求点 $P_{n}$ 的纵坐标 $b_{n}$ 的表达式； (2) 若对每个自然数 $n$，以 $b_{n}$，$b_{n+1}$，$b_{n+2}$ 为边长能构成一个三角形，求 $a$ 取值范围； (3) 设 $B_{n} = b_{1}b_{2}\cdots b_{n}$（$n \in \mathbf{N}$），若 $a$ 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 $\{B_{n}\}$ 的最大项的项数.