计算： $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n =$______.

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{10} = 0$，则有等式 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{19-n}$（$n < 19$，$n \in \mathbf{N}^*$）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中，若 $b_{9} = 1$，则有等式______成立.

在 $xOy$ 平面上有一点列 $P_{1}(a_{1},b_{1})$，$P_{2}(a_{2},b_{2})$，$\cdots$，$P_{n}(a_{n},b_{n})$，$\cdots$，对每个自然数 $n$，点 $P_{n}$ 位于函数 $y = 2000 \cdot \left(\frac{a}{10}\right)^{x}$（$0 < a < 10$）的图象上，且点 $P_{n}$，点 $(n,0)$ 与点 $(n + 1,0)$ 构成一个以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形.

(1) 求点 $P_{n}$ 的纵坐标 $b_{n}$ 的表达式； (2) 若对每个自然数 $n$，以 $b_{n}$，$b_{n+1}$，$b_{n+2}$ 为边长能构成一个三角形，求 $a$ 取值范围； (3) 设 $B_{n} = b_{1}b_{2}\cdots b_{n}$（$n \in \mathbf{N}$），若 $a$ 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 $\{B_{n}\}$ 的最大项的项数.