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01三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡θ⋅tan⁡θ<0\cos \theta \cdot \tan \theta < 0，那么角 θ\theta 是（ ）
A.
第一或第二象限角
B.
第二或第三象限角
C.
第三或第四象限角
D.
第一或第四象限角

2007 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=3xf(x) = 3^{x}（0<x⩽20 < x \leqslant 2）的反函数的定义域为（ ）
A.
(0,+∞)(0, +\infty)
B.
(1,9](1, 9]
C.
(0,1)(0,1)
D.
[9,+∞)[9, +\infty)

2007 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡2x−cos⁡2xf(x) = \sin 2x - \cos 2x 的最小正周期是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

2007 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的焦点为 F1F_1，F2F_2，两条准线与 xx 轴的交点分别为 MM，NN. 若 ∣MN∣⩽2∣F1F2∣|MN| \leqslant 2|F_1F_2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
B.
(0,22]\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
C.
[12,1)\left[\frac{1}{2}, 1\right)
D.
[22,1)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

2007 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
某城市的汽车牌照号码由 22 个英文字母后接 44 个数字组成. 其中 44 个数字互不相同的牌照号码共有（ ）
A.
(C261)2A104\left(\mathrm C_{26}^{1}\right)^{2}\mathrm A_{10}^{4} 个
B.
A262A104\mathrm A_{26}^{2}\mathrm A_{10}^{4} 个
C.
(C261)2104\left(\mathrm C_{26}^{1}\right)^{2}10^{4} 个
D.
A262104\mathrm A_{26}^{2}10^{4} 个

2007 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若不等式组
{x−y+5⩾0,y⩾a,0⩽x⩽2\begin{cases} x-y+5&\geqslant0,\\ y&\geqslant a,\\ 0&\leqslant x\leqslant2 \end{cases}
表示的平面区域是一个三角形，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
a<5a < 5
B.
a⩾7a \geqslant 7
C.
5⩽a<75 \leqslant a < 7
D.
a<5a < 5 或 a⩾7a \geqslant 7

2007 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
平面 α\alpha ∥\parallel 平面 β\beta 的一个充分条件是（ ）
A.
存在一条直线 aa，a∥αa \parallel \alpha，a∥βa \parallel \beta
B.
存在一条直线 aa，a⊂αa \subset \alpha，a∥βa \parallel \beta
C.
存在两条平行直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha
D.
存在两条异面直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha

2007 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
对于函数
① f(x)=∣x+2∣f(x) = |x + 2|； ② f(x)=(x−2)2f(x) = (x - 2)^2； ③ f(x)=cos⁡(x−2)f(x) = \cos (x - 2).
判断如下两个命题的真假：
命题甲： f(x+2)f(x+2) 是偶函数；
命题乙： f(x)f(x) 在 (−∞,2)(-\infty,2) 上是减函数，在 (2,+∞)(2,+\infty) 上是增函数；
能使命题甲，乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.
①②
B.
①③
C.
②
D.
③

2007 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★☆☆☆☆
f′(x)f'(x) 是 f(x)=13x3+2x+1f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2x + 1 的导函数，则 f′(−1)f'(-1) 的值是______.

2007 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−10nS_{n} = n^{2} - 10n（n=1n = 1，22，33，…\dots），则此数列的通项公式为______.

2007 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2,4)，b=(1,1)\boldsymbol{b} = (1,1). 若向量 b⊥(a+λb)\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{b})，则实数 λ\lambda 的值是______.

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 tan⁡A=13\tan A = \frac{1}{3}，C=150∘C = 150^{\circ}，BC=1BC = 1，则 AB=‾AB =\underline{\hspace{2em}}.

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13三角函数★★★☆☆
2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）. 如果小正方形的面积为 11，大正方形的面积为 2525，直角三角形中较小的锐角为 θ\theta，那么 cos⁡2θ\cos 2\theta 的值等于______.

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别由下表给出
则 f[g(1)]f[g(1)] 的值为______；当 g[f(x)]=2g[f(x)] = 2 时，x=x =______.

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15不等式★★★☆☆
记关于 xx 的不等式 x−ax+1<0\frac{x - a}{x + 1} < 0 的解集为 PP，不等式 ∣x−1∣⩽1|x - 1| \leqslant 1 的解集为 QQ.
(1) 若 a=3a = 3，求 PP. (2) 若 Q⊆PQ \subseteq P，求正数 aa 的取值范围.

2007 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，an+1=an+cna_{n + 1} = a_{n} + cn（cc 是常数，n=1n = 1，22，33，…\dots），且 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成公比不为 1 的等比数列.
(1) 求 cc 的值. (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2007 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 中，∠OAB=π6\angle OAB = \frac{\pi}{6}，斜边 AB=4AB = 4. Rt△AOC\mathrm{Rt}\triangle AOC 可以通过 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 以直线 AOAO 为轴旋转得到，且二面角 B−AO−CB-AO-C 是直二面角. DD 是 ABAB 的中点.
(1) 求证：平面 CODCOD ⊥\perp 平面 AOBAOB. (2) 求异面直线 AOAO 与 CDCD 所成角的大小.

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18概率与统计★★★☆☆
某条公共汽车线路沿线共有 1111 个车站（包括起点站和终点站）. 在起点站开出的一辆公共汽车上有 66 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，求：
(1) 这 66 位乘客在互不相同的车站下车的概率. (2) 这 66 位乘客中恰有 33 人在终点站下车的概率.

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19解析几何★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0)M(2,0)，ABAB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0x - 3y - 6 = 0，点 T(−1,1)T(-1,1) 在 ADAD 边所在直线上.
(1) 求 ADAD 边所在直线的方程. (2) 求矩形 ABCDABCD 外接圆的方程. (3) 若动圆 PP 过点 N(−2,0)N(-2,0)，且与矩形 ABCDABCD 的外接圆外切，求动圆 PP 的圆心的轨迹方程.

2007 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 y=kxy = kx 与 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象相交于 A(x1,y1)A(x_1, y_1)，B(x2,y2)B(x_2, y_2). l1l_1，l2l_2 分别是 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象在 AA，BB 两点的切线，MM，NN 分别是 l1l_1，l2l_2 与 xx 轴的交点.
(1) 求 kk 的取值范围. (2) 设 tt 为点 MM 的横坐标，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，写出 tt 以 x1x_{1} 为自变量的函数式，并求其定义域和值域. (3) 试比较 ∣OM∣|OM| 与 ∣ON∣|ON| 的大小，并说明理由（OO 是坐标原点）.

2007 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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