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05
数列
★★☆☆☆
设
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
是公差不为
0
0
0
的等差数列，
a
1
=
2
a_{1} = 2
a
1
=
2
且
a
1
a_{1}
a
1
，
a
3
a_{3}
a
3
，
a
6
a_{6}
a
6
成等比数列，则
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
=
S_{n} =
S
n
=
（ ）
A.
n
2
4
+
7
n
4
\frac{n^2}{4} +\frac{7n}{4}
4
n
2
+
4
7
n
B.
n
2
3
+
5
n
3
\frac{n^2}{3} +\frac{5n}{3}
3
n
2
+
3
5
n
C.
n
2
2
+
3
n
4
\frac{n^2}{2} +\frac{3n}{4}
2
n
2
+
4
3
n
D.
n
2
+
n
n^2 + n
n
2
+
n
2009 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题
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21
数列
★★★★★
已知
a
1
=
1
a_1 = 1
a
1
=
1
，
a
2
=
4
a_2 = 4
a
2
=
4
，
a
n
+
2
=
4
a
n
+
1
+
a
n
a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n
a
n
+
2
=
4
a
n
+
1
+
a
n
，
b
n
=
a
n
+
1
a
n
b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}
b
n
=
a
n
a
n
+
1
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
.
(1) 求
b
1
b_{1}
b
1
，
b
2
b_{2}
b
2
，
b
3
b_{3}
b
3
的值； (2) 设
c
n
=
b
n
b
n
+
1
c_{n} = b_{n}b_{n + 1}
c
n
=
b
n
b
n
+
1
，
S
n
S_{n}
S
n
为数列
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
的前
n
n
n
项和. 求证：
S
n
⩾
17
n
S_{n} \geqslant 17n
S
n
⩾
17
n
； (3) 求证：
∣
b
2
n
−
b
n
∣
<
1
64
⋅
1
17
n
−
2
|b_{2n} - b_n| < \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{17^{n-2}}
∣
b
2
n
−
b
n
∣
<
64
1
⋅
1
7
n
−
2
1
.
2009 · 重庆 · 文 · 第 21 题 · 解答题
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