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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 P={x∈N∣1⩽x⩽10}P = \{x \in \mathbf{N} \mid 1 \leqslant x \leqslant 10\}，集合 Q={x∈R∣x2+x−6⩽0}Q = \{x \in \mathbf{R} \mid x^2 + x - 6 \leqslant 0\}，则 P∩QP \cap Q 等于（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{1,2}\{1, 2\}
C.
{2,3}\{2,3\}
D.
{1,2,3}\{1,2,3\}

2006 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 (1+i)21−i\frac{(1 + \mathrm{i})^2}{1 - \mathrm{i}} 等于（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
1+i1 + \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2006 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞12n(n2+1−n2−1)\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})} 等于（ ）
A.
11
B.
12\frac{1}{2}
C.
14\frac{1}{4}
D.
00

2006 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=log⁡a(x+b)f(x) = \log_a (x + b)（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象过点 (2,1)(2,1)，其反函数的图象过点 (2,8)(2,8)，则 a+ba + b 等于（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2006 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设直线过点 (0,a)(0, a)，其斜率为 1，且与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 相切，则 aa 的值为（ ）
A.
±2\pm \sqrt{2}
B.
±2\pm 2
C.
±22\pm 2\sqrt{2}
D.
±4\pm 4

2006 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
“等式 sin⁡(α+γ)=sin⁡2β\sin(\alpha+\gamma)=\sin2\beta 成立”是“ α\alpha，β\beta，γ\gamma 成等差数列”的（ ）
A.
必要而不充分条件
B.
充分而不必要条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y22=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1（a>2a > \sqrt{2}）的两条渐近线的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，则双曲线的离心率为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
263\frac{2\sqrt{6}}{3}
D.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}

2006 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
已知不等式 (x+y)(1x+ay)⩾9(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{a}{y}\right) \geqslant 9 对任意正实数 xx，yy 恒成立，则正实数 aa 的最小值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2006 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知非零向量 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 满足 (AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)⋅BC→=0\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)\cdot \overrightarrow{BC} = 0 且 AB→∣AB→∣⋅AC→∣AC→∣=12\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{2}，则 △ABC\triangle ABC 为（ ）
A.
三边均不相等的三角形
B.
直角三角形
C.
等腰非等边三角形
D.
等边三角形

2006 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+2ax+4f(x) = ax^2 + 2ax + 4（0<a<30 < a < 3）. 若 x1<x2x_1 < x_2，x1+x2=1−ax_1 + x_2 = 1 - a，则（ ）
A.
f(x1)<f(x2)f(x_{1}) < f(x_{2})
B.
f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2})
C.
f(x1)>f(x2)f(x_{1}) > f(x_{2})
D.
f(x1)f(x_{1}) 与 f(x2)f(x_{2}) 的大小不能确定

2006 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知平面 α\alpha 外不共线的三点 AA，BB，CC 到 α\alpha 的距离都相等. 则正确的结论是（ ）
A.
平面 ABCABC 必平行于 α\alpha
B.
平面 ABCABC 必与 α\alpha 相交
C.
平面 ABCABC 必不垂直于 α\alpha
D.
存在 △ABC\triangle ABC 的一条中位线平行于 α\alpha 或在 α\alpha 内

2006 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
为确保信息安全，信息需加密传播. 发送方由明文 →\rightarrow 密文（加密），接收方由密文 →\rightarrow 明文（解密）. 已知加密规则为：明文 aa，bb，cc，dd 对应密文 a+2ba + 2b，2b+c2b + c，2c+3d2c + 3d，4d4d. 例如，明文 11，22，33，44 对应密文 55，77，1818，1616. 当接收方收到密文 1414，99，2323，2828 时，则解密得到的明文为（ ）
A.
4,6,1,74,6,1,7
B.
77，66，11，44
C.
66，44，11，77
D.
11，66，44，77

2006 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★★☆☆☆
cos⁡43∘cos⁡77∘+sin⁡43∘cos⁡167∘\cos 43^{\circ} \cos 77^{\circ} + \sin 43^{\circ} \cos 167^{\circ} 的值为______.

2006 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(3x−1x)12\left(3x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12} 展开式中 x−3x^{-3} 的系数为______.（用数字作答）

2006 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
水平桌面 α\alpha 上放有 4 个半径均为 2R2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）. 在这 4 个球的上面放 1 个半径为 RR 的小球，它和下面的 4 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 α\alpha 的距离是______.

2006 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种.

2006 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡(2x−π6)+2sin⁡2(x−π12)f(x) = \sqrt{3} \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + 2 \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{12}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求使函数 f(x)f(x) 取得最大值的 xx 的集合.

2006 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙 3 人投篮，投进的概率分别是 13\frac{1}{3}，25\frac{2}{5}，12\frac{1}{2}.
(1) 现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率； (2) 用 ξ\xi 表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量 ξ\xi 的概率分布及数学期望 E(ξ)E(\xi).

2006 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，α⊥β\alpha \perp \beta，α∩β=l\alpha \cap \beta = l，A∈αA \in \alpha，B∈βB \in \beta，点 AA 在直线 ll 上的射影为 A1A_1，点 BB 在 ll 上的射影为 B1B_1. 已知 AB=2AB = 2，AA1=1AA_1 = 1，BB1=2BB_1 = \sqrt{2}. 求：
(1) 直线 ABAB 分别与平面 α\alpha，β\beta 所成角的大小； (2) 二面角 A1−AB−B1A_{1} - AB - B_{1} 的大小.

2006 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知正项数列 {an}\{a_{n}\}，其前 nn 项和 SnS_{n} 满足 10Sn=an2+5an+610S_{n} = a_{n}^{2} + 5a_{n} + 6，且 a1a_{1}，a3a_{3}，a15a_{15} 成等比数列，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n}.

2006 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★★☆☆
如图，三定点 A(2,1)A(2,1)，B(0,−1)B(0,-1)，C(−2,1)C(-2,1)，三动点 DD，EE，MM 满足 AD→=tAB→\overrightarrow{AD} = t\overrightarrow{AB}，BE→=tBC→\overrightarrow{BE} = t\overrightarrow{BC}，DM→=tDE→\overrightarrow{DM} = t\overrightarrow{DE}，t∈[0,1]t \in [0,1]. 求：
(1) 动直线 DEDE 斜率的变化范围； (2) 动点 MM 的轨迹方程.

2006 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3−x2+x2+14f(x) = x^3 - x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}，且存在 x0∈(0,12)x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)，使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的单调增函数； (2) 设 x1=0x_{1} = 0，xn+1=f(xn)x_{n + 1} = f(x_{n})，y1=12y_{1} = \frac{1}{2}，yn+1=f(yn)y_{n + 1} = f(y_{n})，其中 n=1n = 1，22，…\dots，证明：xn<xn+1<x0<yn+1<ynx_{n} < x_{n + 1} < x_0 < y_{n + 1} < y_{n}； (3) 证明： yn+1−xn+1yn−xn<12\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{y_{n}-x_{n}}<\frac{1}{2}.

2006 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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