设函数 $f(x) = \log_a (x + b)$（$a > 0$，$a \neq 1$）的图象过点 $(2,1)$，其反函数的图象过点 $(2,8)$，则 $a + b$ 等于（ ）

已知函数 $f(x) = ax^2 + 2ax + 4$（$0 < a < 3$）. 若 $x_1 < x_2$，$x_1 + x_2 = 1 - a$，则（ ）

为确保信息安全，信息需加密传播. 发送方由明文 $\rightarrow$ 密文（加密），接收方由密文 $\rightarrow$ 明文（解密）. 已知加密规则为：明文 $a$，$b$，$c$，$d$ 对应密文 $a + 2b$，$2b + c$，$2c + 3d$，$4d$. 例如，明文 $1$，$2$，$3$，$4$ 对应密文 $5$，$7$，$18$，$16$. 当接收方收到密文 $14$，$9$，$23$，$28$ 时，则解密得到的明文为（ ）

已知函数 $f(x) = x^3 - x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$，且存在 $x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$，使 $f(x_0) = x_0$.

(1) 证明： $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的单调增函数； (2) 设 $x_{1} = 0$，$x_{n + 1} = f(x_{n})$，$y_{1} = \frac{1}{2}$，$y_{n + 1} = f(y_{n})$，其中 $n = 1$，$2$，$\dots$，证明：$x_{n} < x_{n + 1} < x_0 < y_{n + 1} < y_{n}$； (3) 证明： $\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{y_{n}-x_{n}}<\frac{1}{2}$.