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01不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x+2∣<1\left|x+2\right|<1 的解集是______.
\begin{answer} (−3,−1)\left(-3,-1\right) \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x3−1y=\sqrt[3]{x}-1 的反函数是______.
\begin{answer} y=(x+1)3y=\left(x+1\right)^3 \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
点 (0,1)(0,1) 到直线 x+y=2x+y=2 的距离是______.
\begin{answer} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡πx2y=\sin\dfrac{\pi x}{2} 的最小正周期是______.
\begin{answer} 44 \end{answer}

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05解析几何★☆☆☆☆
如果一个圆的圆心在点 (2,4)(2,4)，并且经过点 (0,3)(0,3)，那么这个圆的方程是______.
\begin{answer} (x−2)2+(y−4)2=5\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5 \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若平面 α\alpha 及这个平面外的一条直线 ll 同时垂直于直线 mm，则直线 ll 和平面 α\alpha 的位置关系是______.
\begin{answer} l∥αl\parallel\alpha \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡2x−cos⁡2xy=\sin^{2}x-\cos^{2}x 的最小值是______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 9x−7⋅3x−18=09^{x}-7\cdot3^{x}-18=0 的解是______.
\begin{answer} x=2x=2 \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
若 tan⁡α=−2\tan\alpha=-2，且 sin⁡α<0\sin\alpha<0，则 cos⁡α\cos\alpha 的值是______.
\begin{answer} 55\dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★☆☆☆☆
已知 OO 为直角坐标系的原点，点 AA 的坐标为 (1,3)(1,3)，点 BB 的坐标为 (0,3)(0,3). 若把 △OAB\triangle OAB 绕 yy 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是______.
\begin{answer} π\pi \end{answer}

1985 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11复数★★☆☆☆
设 zz 为复数，zz 是 zˉ\bar{z} 的共轭复数，则 z=zˉz=\bar{z} 是 zz 为实数的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
充分但不必要的条件
B.
必要但不充分的条件
C.
充分而且必要的条件
D.
既不充分也不必要的条件

1985 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★☆☆☆
下列各式中，正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
arcsin⁡(−π3)=−32\arcsin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
B.
sin⁡(arcsin⁡π3)=π3\sin\left(\arcsin\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}
C.
arcsin⁡(sin⁡5π4)=−π4\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\pi}{4}
D.
sin⁡[arccos⁡(−12)]=−32\sin\left[\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1985 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x2−3x+2)f(x)=\lg\left(x^2-3x+2\right) 的定义域为 FF，函数 g(x)=lg⁡(x−1)+lg⁡(x−2)g(x)=\lg(x-1)+\lg(x-2) 的定义域为 GG，那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
F∩G=∅F\cap G=\varnothing
B.
F=GF=G
C.
F⊂GF\subset G
D.
G⊂FG\subset F

1985 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★★☆
若一个棱锥的底面是边数大于 33 的凸多边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面多边形（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
必为正多边形
B.
必有内切圆
C.
必有外接圆
D.
必既有内切圆又有外接圆

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15解析几何★★☆☆☆
若平移坐标轴，把坐标系 xoyxoy 的原点 OO 移到点 O′O'，O′O' 在原坐标系中的坐标为 (2,−1)(2,-1)，则原坐标系中的曲线 y=x3y=x^3 在新坐标系 x′o′y′x'o'y' 中的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
y′+1=(x′−2)3y'+1=\left(x'-2\right)^3
B.
y′+1=(x′+2)3y'+1=\left(x'+2\right)^3
C.
y′−1=(x′−2)3y'-1=\left(x'-2\right)^3
D.
y′−1=(x′+2)3y'-1=\left(x'+2\right)^3

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16解析几何★★★☆☆
(1) 在直角坐标系内，方程
{x=3cot⁡φy=2csc⁡φ\begin{cases} x=3\cot\varphi\\ y=2\csc\varphi \end{cases}
（φ\varphi 是参数）表示什么曲线？画出它的图形. (2) 在极坐标系内，方程 2sin⁡θρ=1\dfrac{2\sin\theta}{\rho}=1 表示什么曲线？画出它的图形.

1985 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
(1) 求 (x3−1x2)15\left(x^{3}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{15} 的展开式中的常数项. (2) 从六个数字 11，22，33，44，55，66 中任取四个不同的数字，有多少种取法？由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3) 在一列球中，第 1 个球的半径为 11，第 2 个球的直径是第 1 个球的半径，以后每一个球的直径都是前一个球的半径，这样无限继续下去，求所有这些球的表面积的和.

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18复数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的两个内角 AA，BB 所对的边分别为 aa，bb. 若复数 z1z_1 的模为 aa，幅角为 BB；复数 z2z_2 的模为 bb，幅角为 −A-A. 求证 z1+z2z_1+z_2 为实数.

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19三角函数★★★☆☆
解三角方程 cos⁡2x+cos⁡23x=1\cos^2x+\cos^23x=1.

1985 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 对其定义域内的任意两个实数 aa，bb，当 a<ba<b 时，都有 f(a)<f(b)f(a)<f(b). 试用反证法证明：方程 f(x)=0f(x)=0 至多有一个实数根.

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21不等式★★★★☆
对于一切大于 11 的自然数 nn，证明：(1+13)(1+15)⋯(1+12n−1)>2n+12\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2n-1}\right)>\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2}.

1985 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，顶点 PP 到 BCBC，ACAC，ABAB 的距离分别为 h1h_1，h2h_2，h3h_3，二面角 P−BC−A=α1P-BC-A=\alpha_1，P−AC−B=α2P-AC-B=\alpha_2，P−AB−C=α3P-AB-C=\alpha_3. α1\alpha_1，α2\alpha_2，α3\alpha_3 都是锐角，且依次成等差数列，h1h_1，h2h_2，h3h_3 依次成等比数列. 求证：α1=α2=α3\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3.

1985 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★★
已知直线 y=x+my=x+m 和曲线 x3+2y3+y4−1=0x^3+2y^3+y^4-1=0 交于 AA，BB 两点，PP 是这条直线上的点，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=2\left|PA\right|\cdot\left|PB\right|=2. 求：当 mm 变化时，点 PP 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

1985 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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